知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1． f（x）是定义在R上函数，满足f（x）=f（-x）且x≥0时，f（x）=x³，若对任意的x∈[2t-1，2t+3]，不等式f（3x-t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．

难度：中等

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2．已知函数f（x）的定义域D⊆（0，+∞），若f（x）满足对任意的一个三边长为a，b，c∈D的三角形，都有f（a），f（b），f（c）也可以成为一个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．
（1）判断g（x）=sinx，x∈（0，π）是否为“保三角形函数”，并说明理由；
（2）证明：函数h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“保三角形函数”；
（3）若f（x）=sinx，x∈（0，λ）是“保三角形函数”，求实数λ的最大值．

难度：较难

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3．已知f（x）=ln（1-x）-ln（1+x）．
（Ⅰ）指出函数f（x）的定义域并求f(-
1
3
)，f(-
1
2
)，f(
1
2
)，f(
1
3
)的值；
（Ⅱ）观察（Ⅰ）中的函数值，请你猜想函数f（x）的一个性质，并证明你的猜想；
（Ⅲ）解不等式：f（1+x）+ln3＞0．

难度：中等

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4．定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）时，f(x)=
3x
9x+1
．
（1）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，2）上的单调性，并给予证明；
（3）当λ为何值时，关于方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解？

难度：较难

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5．（2014•宁德校级模拟）如图，双曲线y=
2
x
（x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得△AB′C，B′点落在OA上，则四边形OABC的面积是．

难度：中等

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6．已知f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=-x²+bx+c，若f（1）=f（3），f（2）=2
（1）求b，c的值；
（2）求f（x）在x＜0时的表达式；
（3）若关于x的方程f（x）=ax，（a∈R）有解，求a的取值范围．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=x³+3ax-1，a∈R．
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线与直线y=6x+6平行，求实数a的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=f′（x）-6，对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0成立，求实数x的取值范围；

难度：较难

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8．对于函数f（x）（x∈R），假如实数x₀满足f（x₀）=x₀为f（x）的“不动点”；若实数x₀满足f[f（x₀）]=x₀，则称x₀为f（x）的“稳定点”，记函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}．
（1）设函数f（x）=3x-8，求集合A和B；
（2）判断集合A和B的关系，并说明理由；
（3）设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且A=∅，求证：B=∅

难度：中等

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9．给定一函数f（x），若对于定义域中的任意数x，都有f（x）≤a，则称a为函数f（x）的上界，把f（x）的最小上界称为f（x）的上界，记为supf（x），设当-1＜t＜x时，M（x）=supt²，则M（0）= ，M（x）的最小值为．

难度：较易

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