知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知f（x）=x²-a|x-1|+b（a＞0，b＞-1）
（1）若b=0，a＞2，求f（x）在区间[0，2]内的最小值m（a）；
（2）若f（x）在区间[0，2]内不同的零点恰有两个，且落在区间[0，1），（1，2]内各一个，求a-b的取值范围．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）满足f（b）≥f（c），记f（x）的最小值为m（b，c）．
（Ⅰ）证明：当b＞0时，m（b，c）≤1；
（Ⅱ）当b，c满足m（b，c）≥1时，求f（1）的最大值．

难度：较难

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3．设函数f（x）=ax²+b，其中a，b是实数．
（Ⅰ）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围；
（Ⅱ）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy=l的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f（x）f（y）成立．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=x²-（a+1）x+b
（1）若b=-1，函数y=f（x）在x∈[2，3]上有一个零点，求a的取值范围
（2）若a=b，且∀a∈[2，3]都有f（x）＜0成立，求x的取值范围．

难度：中等

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5．已知二次函数g（x）=x²-2mx+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）设f（x）=
g(x)-2x
x
．若f（2x）-k•2^x≤0在x∈[-3，3]时恒成立，求k的取值范围．

难度：中等

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6．已知二次函数f（x）满足f（-1）=0，且4x≤f（x）≤2（x²+1）对于任意x∈R恒成立．
（1）求f（1）的值及f（x）的表达式；
（2）设g（x）=
x2-1
f(x)
定义域为D，现给出一个数学运算程序：x₁→x₂=g（x₁）→x₃=g（x₂）→…x_n=g（x_n-1），按照这个运算规则，若给出x₁=
7
3
，请你写出满足上述条件的集合D={x₁，x₂，x₃，…，x_n}的所有元素．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=ax²-4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值-2．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（x）≥mx在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=x²+2x，g(x)=(
1
2
)x+m，若任意x₁∈[1，2]，存在x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）≥g（x₂），则实数m的取值范围是．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且f（-1+x）=f（-1-x），f（0）=1，f（-1）=0，令g（x）=ln（x-1）²-f（x）．
（1）求函数f（x）的表达式及函数g（x）的单调区间；
（2）关于x的方程g（x）=-x²-x-1-a在[0，2]上恰有两个不等的实根，求实数a的取值范围．

难度：中等

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10．已知二次函数y=f（x）的图象过坐标原点，其导函数f′（x）=6x-2，数列{a_n}前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=
3
anan+1
，T_n是数列{b_n}的前n项和，求当Tn≥
m
20
对所有n∈N^*都成立m取值范围．

难度：中等

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