知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设非空集合S={x|m≤x≤l}对任意的x∈S，都有x²∈S，若m=-
1
2
，则l的取值范围．

难度：较难

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2．已知非空集合M满足：∀a∈M，总有a²∉M且
a
∉M．若M⊆{1，2}，则M= ；若M⊆{x∈N|y=
5+4x-x2
}，则满足条件的M共有个．

难度：较难

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3．定义：设A，B是非空的数集，a∈A，b∈B，若a是b的函数且b也是a的函数，则称a与b是“和谐关系”．如等式b=a²，a∈[0，+∞）中a与b是“和谐关系”，则下列等中a与b是“和谐关系”的是（　　）

A．b=

sina

，a∈(0，

)

B．b=a3+

a2+2a+1，a∈(-2，-

)

C．（a-2）²+b²=1，a∈[1，2]

D．|a|+|b|=1，a∈[-1，1]

难度：较难

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4．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立．
（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；
（2）设f（x）∈M，且T=2，已知当1＜x＜2时，f（x）=x+lnx，求当-3＜x＜-2时，f（x）的解析式．

难度：较难

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5．对于任意的n∈N^*，记集合E_n={1，2，3，…，n}，P_n={x|x=
a
b
，a∈En，b∈En}．若集合A满足下列条件：①A⊆P_n；②∀x₁，x₂∈A，且x₁≠x₂，不存在k∈N^*，使x₁+x₂=k²，则称A具有性质Ω．
如当n=2时，E₂={1，2}，P₂={1，2，
1
2
，
2
2
}．∀x₁，x₂∈P₂，且x₁≠x₂，不存在k∈N^*，使x₁+x₂=k²，所以P₂具有性质Ω．
（Ⅰ）写出集合P₃，P₅中的元素个数，并判断P₃是否具有性质Ω．
（Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E₁₅=A∪B．
（Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P_n=A∪B，求n的最大值．

难度：较难

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6．已知集合M{h（x）|h（x）的定义域为R，且对任意x都有h（-x）=-h（x）}设函数f（x）=
-2x+a
2x+1+b
（a，b为常数）．
（1）当a=b=1时，判断是否有f（x）∈M，说明理由；
（2）若函数f（x）∈M，且对任意的x都有f（x）＜sinθ成立，求θ的取值范围．

难度：较难

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7．非空集合S⊆N^*，且满足条件“x∈S，则（10-x）∈S”，则集合S的所有元素之和的总和为．

难度：较难

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8．用|A|表示非空集合A中集合元素个数（例如A={1，3，5}，则|A|=3），定义M（a，b）=

a，a≥b

b，a＜b

(a，b∈R)，若A={B|B⊆{1，2，3}且B中至少有一个奇数}，C={x|x²-4|x|+3=0}，那么M（|A|，|C|）可能取值的有（　　）个．

A．1

B．2

C．3

D．4

难度：较难

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9．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：
在定义域（0，+∞）内存在x₀，使函数f（x₀+1）≤f（x₀）f（1）成立；
（1）请给出一个x₀的值，使函数f(x)=
1
x
∈M；
（2）函数f（x）=x²-x-2是否是集合M中的元素？若是，请求出所有x₀组成的集合；若不是，请说明理由；
（3）设函数f(x)=
a
x2+2
∈M，求实数a的取值范围．

难度：较难

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10．集合A={（m，n）|（m+1）+（m+2）+…+（m+n）=6¹⁰⁰⁷，m∈Z，n∈N^*}，则集合A中的元素个数为．

难度：较难

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