知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
设函数\(f(x)= \dfrac {1}{2}ax^{2}-1-\ln x\)，其中\(a∈R\)．
\((1)\)若\(a=0\)，求过点\((0,-1)\)且与曲线\(y=f(x)\)相切的直线方程；
\((2)\)若函数\(f(x)\)有两个零点\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，
\(①\)求\(a\)的取值范围；
\(②\)求证：\(f′(x_{1})+f′(x_{2}) < 0\)．

难度：中等

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2．

函数\(y= \dfrac {1}{2}x^{2}-\ln x\)的单调递减区间为\((\)　　\()\)

A．\((-1,1)\)

B．\((-∞,-1)\)

C．\((-∞,-1)∪(0,1)\)

D．\((0,1)\)

难度：较易

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3．
已知函数\(f(x)= \dfrac {\ln x}{x+a}\)．
\((I)\)当\(a=0\)时，求函数\(f(x)\)的单调递增区间；
\((\)Ⅱ\()\)当\(a > 0\)时，若函数\(f(x)\)的最大值为\( \dfrac {1}{e^{2}}\)，求\(a\)的值．

难度：较易

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4．
已知曲线\(C_{1}\)：\(y=\ln x(0 < x < 1)\)的切线\(l\)与曲线\(C_{2}\)：\(y=x^{2}\)相切于点\((m,m^{2})\)，某学习小组的三名同学甲、乙、丙通过独立求解后表达了自己的观点，甲说：这样的直线\(l\)只有一条；乙说：\(m\)的取值介于\( \sqrt {2}\)与\( \sqrt {3}\)之间；丙说：甲和乙至多有一个人的结果正确，则甲、乙、丙三人中观点正确的人有 ______ ．

难度：较易

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5．
已知函数\(f(x)= \dfrac {1}{2}x^{2}-ax+\ln x\)，其中\(a∈R\)．
\((\)Ⅰ\()\)讨论函数\(f(x)\)极值点的个数；
\((\)Ⅱ\()\)若函数\(f(x)\)有两个极值点\(m\)，\(n\)，其中\(m < n\)且\(m > \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)是否存在整数\(k\)使得不等式\(f(n)+k < f(m) < f(n)+3k+5\ln 2\)恒成立？若存在，求整数\(k\)的值；若不存在，请说明理由\(.(\)参考数据：\(\ln 2≈0.7\)，\(\ln 3≈1.1)\)

难度：中等

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6．
设\(x=1\)与\(x=-2\)是函数\(f(x)=ax^{3}+bx^{2}-2x\)，\(a\neq 0\)的两个极值点．
\((1)\)试确定常数\(a\)和\(b\)的值；
\((2)\)求函数\(f(x)\)的单调区间．

难度：较易

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7．
已知函数\(f(x)=4x^{3}-3x^{2}\cos θ+ \dfrac {3}{16}\cos θ\)，其中\(x∈R\)，\(θ\)为参数，且\(0\leqslant θ\leqslant 2π\)．
\((\)Ⅰ\()\)当\(\cos θ=0\)时，判断函数\(f(x)\)是否有极值；
\((\)Ⅱ\()\)要使函数\(f(x)\)的极小值大于零，求参数\(θ\)的取值范围；
\((\)Ⅲ\()\)若对\((2)\)中所求的取值范围内的任意参数\(θ\)，函数\(f(x)\)在区间\((2a-1,a)\)内都是增函数，求实数\(a\)的取值范围．

难度：较易

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8．

已知定义在\(R\)上的可导函数\(f(x)\)的导函数\(f{{"}}(x)\)，若对于任意实数\(x\)，有\(f{{"}}(x) < f(x)\)，且\(y=f(x)-1\)为奇函数，则不等式\(f(x) < e^{x}\)的解集为\((\)　　\()\)

A．\((-∞,0)\)

B．\((0,+∞)\)

C．\((-∞,e^{4})\)

D．\((e^{4},+∞)\)

难度：较易

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9．
已知函数\(f(x)=x+\ln x,g(x)=f(x)+ \dfrac {1}{2}x^{2}-bx\)与直线\(x+2y=0\)垂直．
\((\)Ⅰ\()\)求\(f(x)\)在\(x=1\)处的切线方程；
\((\)Ⅱ\()\)当\(b=4\)时，求函数\(g(x)=f(x)+ \dfrac {1}{2}x^{2}-bx\)的单调递减区间；
\((\)Ⅲ\()\)设\(x_{1}\)，\(x_{2}(x_{1} < x_{2})\)是函数\(g(x)\)的两个极值点，若\(b\geqslant \dfrac {7}{2}\)，求\(g(x_{1})-g(x_{2})\)的最小值．

难度：中等

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10．
已知函数\(f(x)=e^{x}- \dfrac {1}{2}bx^{2}+ax(a,b∈R)\)．
\((\)Ⅰ\()\)当\(a > -1\)且\(b=1\)时，试判断函数\(f(x)\)的单调性；
\((\)Ⅱ\()\)若\(a < 1-e\)且\(b=1\)，求证：函数\(f(x)\)在\([1,+∞)\)上的最小值小于\( \dfrac {1}{2}\)；
\((\)Ⅲ\()\)若\(f(x)\)在\(R\)上是单调函数，求\(ab\)的最小值．

难度：中等

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