知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=x﹣alnx﹣1， $\text{[math]}$ ，其中a为实数．（Ⅰ）求函数g（x）的极值；
（Ⅱ）设a＜0，若对任意的x₁、x₂∈[3，4]（x₁≠x₂）， $\text{[math]}$ 恒成立，求实数a的最小值．

难度：难

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2．已知函数 $\text{[math]}$ （x＞0，e为自然对数的底数），f'（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）当a=2时，求证f（x）＞1；
（Ⅱ）是否存在正整数a，使得f'（x）≥x²lnx对一切x＞0恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，说明理由．

难度：难

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3．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0， $\text{[math]}$ ）上无零点，求a的取值范围．

难度：难

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4．已知函数f（x）的实义域为R，其图象关于点（﹣1，0）中心对称，其导函数为f′（x），当x＜﹣1时，（x+1）[f（x）+（x+1）f′（x）]＜0．则不等式xf（x﹣1）＞f（0）的解集为（）

A．（1，+∞）

B．（﹣∞，﹣1）

C．（﹣1，1）

D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

难度：难

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5．已知f（x）=|xe^x|，又g（x）=f²（x）﹣tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围是（）

A． $\text{[math]}$

B． $\text{[math]}$

C． $\text{[math]}$

D． $\text{[math]}$

难度：难

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6．已知f（x）是定义在区间（0，+∞）内的单调函数，且对∀x∈（0，∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，设f′（x）为f（x）的导函数，则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）的零点个数为（）

B．l

C．2

D．3

难度：难

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7．已知函数f（x）=x³+
5
2
x²+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x₀，使得f（x₀）=x₀与f′（x₀）=0同时成立，求实数b的取值范围；
（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l₁与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l₂，设切线l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂．问：是否存在常数λ，使得k₂=λk₁？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

难度：难

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8．已知函数f（x）=me^x﹣x﹣1（其中e为自然对数的底数，），若f（x）=0有两根x₁ ， x₂且x₁＜x₂ ，则函数y=（e $\text{[math]}$ ﹣e $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ ﹣m）的值域为．

难度：难

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9．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=﹣1与x=2处都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+ $\text{[math]}$ c＜c²恒成立，求c的取值范围．

难度：难

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10．设函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f′（x）表示f（x）的导函数．
（1）求函数y=f（x）的单调增区间；
（2）当k为偶数时，数列{a_n}满足：a₁=1，a_nf′（a_n）=a_n+1²-3．证明：数列{a_n²}中的任意三项不能构成等差数列；
（3）当k为奇数时，证明：对任意正整数都有[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（xⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）成立．

难度：难

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