知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：
方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；
方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．
请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．

难度：中等

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2．已知曲线C1：y=x2与C2：y2=x在第一象限内的交点为P．
（1）求过点P且与曲线C₁相切的直线方程l；
（2）求l与曲线C₂所围图形的面积S．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=x³-x²+x+1，
（1）求函数在点（1，2）处的切线
（2）求函数在点（1，2）处的切线与函数g（x）=x²围成的图形的面积．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）若a=2，求导函数曲线y=f′（x）与直线x=1，x=e及x轴所围成的面积；
（2）求f（x）的单调区间．

难度：中等

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5．设f（x）=x²+2x+1．
（1）求y=f（x）的图象与两坐标所围成图形的面积；
（2）若直线x=-t（0＜t＜1）等于y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．

难度：较易

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6．如图，在某一温度下，直径为0.2m，高为0.8m上端为活塞的圆柱体内某气体的压强p（N/m²）与体积V（m³）的函数关系式为p=
80
V
，而正压力F（N）与压强p（N/m²）的函数关系为F=pS，其中S（m²）为受力面积．设温度保持不变，要使气体的体积缩小为原来的一半．求活塞克服气体压力做多少功？

难度：中等

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7．已知函数y=f（x）的图形如图所示，给出y=f（x）与x=10和x轴所围成图形的面积估计值；要想得到误差不超过1的面积估计值，可以怎么做？

难度：中等

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8．设a＜b，把函数y=h（x）的图象与直线x=a，x=b及y=0所围成图形的面积与b-a的比值称为函数y=h（x）在[a，b]上的“面积密度”
（I）设f（x）=x1nx-x，曲线y=f（x）与直线y=x+b相切，求b的值；
（II）设0＜a＜b，求μ的值（用a，b表示）使得函数g（x）=|lnx-lnμ|在区间（a，b）上的“面积密度”取得最小值；
（III）记（2）中的最小值为φ（a，b），求证：φ（a，b）＜ln2．

难度：较难

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9．曲线y=2x³与直线x=0，x=1及x轴所围成的平面的面积．

难度：中等

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10．计算下列曲线所围成的面积
（1）y=x²，y=x+2；
（2）y²=2x+1，y²=-2x+1．

难度：中等

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