知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=（a-1）x+xlnx在点（1，f（1））处的切线斜率为1．
（Ⅰ）求g（x）=
f(x)
x-1
的单调区间；
（Ⅱ）若m＞n＞1，求证：
m n
n m
＞
n
m
．

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2．已知函数f（x）=ln（1+x）-x+
k
2
x2（k＞0），
（1）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当k≠1时，求函数f（x）的单调区间．

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3．已知函数f（x）=2e^x-（x-a）²+3，g（x）=f′（x）．
（Ⅰ）当a为何值时，x轴是曲线y=g（x）的切线？
（Ⅱ）当a＜-1时，证明：g（x）在[0，+∞）有唯一零点；
（Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥0，求实数a的取值范围．

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4．已知函数f（x）=
1+x
1-x
•e^-ax（a＞0）．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=
1
2
处的切线方程；
（2）讨论方程f（x）-1=0根的个数．

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5．设函数f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的图象与x轴相切于M（3，0）．
（1）求f（x）的解析式，并求y=
f(x)
x
+4lnx的单调减区间；
（2）是否存在两个不等正数s，t（x＞t），当x∈[s，t]时，函数f（x）=x³+ax²+bx的值域也是[s，t]，若存在，求出所有这样的正数s，t，若不存在，请说明理由．

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6．已知函数f(x)=
mx
lnx
，曲线y=f（x）在点（e²，f（e²））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调减区间；
（Ⅱ）若函数g(x)=f(x)-
kx2
x-1
无零点，求k的取值范围．

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7．已知函数f（x）=e^x（ax²-2x-2），a∈R且a≠0．
（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若y=kx与y=f（x）的图象存在三个交点，求k的取值范围．

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8．已知函数f（x）=xlnx+ax+b在点（1，f（1））处的切线为3x-y-2=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若k∈Z，且存在x＞0，使得k＞
f(x+1)
x
成立，求k的最小值．

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9．在平面直角坐标系xOy中，点P（x₀，y₀）在曲线y=x²（x＞0）上，已知A（0，-1）P_n（
x
n
0
，
y
n
0
），n∈N，记直线AP_n的斜率为k_n．
（1）若k₁=2，求P₁的坐标；
（2）若k₁为偶数，求证：k_n为偶数．

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10．已知f（x）=
x
ex-1
，g（x）=（2-a）x-2lnx+a-2．
（Ⅰ）当a=2时，求g（x）在（1，g（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若方程g（x）=0在（0，
1
2
）上无实数根，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若对于∀x₀∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同实数x_i（i=1，2），使得f（x₀）=g（x_i），求实数a的取值范围．

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