数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，且\(a_{n+1}=a_{1}+a_{n}+n(n∈N^{*})\)，则\( \dfrac{1}{a_{1}}+ \dfrac{1}{a_{2}}+…+ \dfrac{1}{a_{2 016}}\)等于\((\)　　\()\)

\((1)\)已知等差数列\(\left\{ a_{n} \right\}\)中，公差\(d{\neq }0\)，且\(a_{1}\)，\(a_{3}\)，\(a_{9}\)成等比数列，求\(\dfrac{a_{1}{+}a_{3}{+}a_{9}}{a_{2}{+}a_{4}{+}a_{10}}{=}\)___．

\((2)\)平面\(\alpha\)过正方体\(ABCD{-}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的顶点\(A\)，\(\alpha{/\!/}\)平面\(CB_{1}D_{1}\)，\(\alpha{∩}\)平面\(ABCD{=}m\)，\(\alpha{∩}\)平面\({AB}B_{1}A_{1}{=}n\)，则\(m{,}n\)所成角的大小为______________．

\((3)\)一轮船向正北方向航行，某时刻在\(A\)处测得灯塔\(M\)在正西方向且相距\(20\sqrt{3}\)海里，另一灯塔\(N\)在北偏东\({{30}^{\circ }}\)方向，继续航行\(20\)海里至\(B\)处时，测得灯塔\(N\)在南偏东\({{60}^{\circ }}\)方向，则两灯塔\(MN\)之间的距离是__________海里．

\((4)\)设抛物线\({{y}^{2}}=2x\)的焦点为\(F\)，过点\(M\left( \sqrt{3},0 \right)\)的直线与抛物线相交于\(A,B\)两点，与抛物线的准线相交于点\(C\)，\(\left| BF \right|=2\)，则\(\Delta BCF\)与\(\Delta ACF\)的面积之比\(\dfrac{{{S}_{\Delta BCF}}}{{{S}_{\Delta ACF}}}=\)__________．

设各项均为正数的数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，满足\(4{{S}_{n}}=a_{^{_{n+1}}}^{2}-4n-1\)，且\({{a}_{1}}=1\)，公比大于\(1\)的等比数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)满足\({{b}_{2}}=3\)，\({{b}_{1}}+{{b}_{3}}=10\)．

\((1)\)求证数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)是等差数列，并求其通项公式；

\((2)\)若\({{c}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{3{{b}_{n}}}\)，求数列\(\left\{ {{c}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)；

\((3)\)在\((2)\)的条件下，若\({{c}_{n}}\leqslant {{t}^{2}}+\dfrac{4}{3}t-2\)对一切正整数\(n\)恒成立，求实数\(t\)的取值范围．

设\(M\subseteq {{N}^{+}}\)，正项数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项的积为\({{T}_{n}}\)，且\(\forall k\in M\)，当\(n > k \)时，\(\sqrt{{{T}_{n+k}}{{T}_{n-k}}}={{T}_{n}}{{T}_{k}}\)都成立．

\((1)\)若\(M=\{1\}\)，\({{a}_{1}}=\sqrt{3}\)，\({{a}_{2}}=3\sqrt{3}\)，求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和；

\((2)\)若\(M=\{3,4\}\)，\({{a}_{1}}=\sqrt{2}\)，求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式．