知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x方程x²-2ⁿx+b_n=0的两根，且a₁=1．
（1）求证：数列{an-
1
3
•2n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设函数f（n）=b_n-t•S_n（n∈N^*），若f（n）＞0对任意的n∈N^*都成立，求实数t的范围．

难度：较难

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2．设m个正数a₁，a₂，…，a_m（m≥4，m∈N^*）依次围成一个圆圈．其中a₁，a₂，a₃，…，a_k-1，a_k（k＜m，k∈N*）是公差为d的等差数列，而a₁，a_m，a_m-1，…，a_k+1，a_k是公比为q的等比数列．
（1）若a₁=d=1，q=2，k=8，求数列a₁，a₂，…，a_m的所有项的和S_m；
（2）若a₁=d=q=3，m＜2015，求m的最大值；
（3）当q=2时是否存在正整数k，满足a₁+a₂+…+a_k-1+a_k=3（a_k+1+a_k+2+…+a_m-1+a_m）？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．

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3．已知正项等比数列{a_n}满足a₅+a₄-a₃-a₂=5，则a₆+a₇的最小值为（　　）

A．32

B．10+10

C．20

D．28

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4．设△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列，则
b
a
+
a
b
的取值范围．

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5．已知各项皆为正数的等比数列{a_n}（n∈N^*），满足a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m、a_n使得
aman
=4a1，则
1
m
+
4
n
的最小值为．

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6．若存在一数列的前n项为na_n，则称该数列为数列{a_n}的“一阶衍生数列”，记作{（a_n）₁}；同样的，若存在一数列的前n项和为n（a_n）₁，则称该数列为数列{a_n}的“二阶衍生数列”，记作{（a_n）₂}．记（a_m）_k为数列{a_n}的“k阶衍生数列”中的第m项．己知等差数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1．
（1）写出数列{（a₂）_n-1}的前四项；
（2）求证：对任意给定的m≥2且m∈N₊，数列{（a_m）_n-1}为等比数列．

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7．已知非零数列{a_n}满足a₁=1，a_na_n+1=a_n-2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{1+
1
an
}是等比数列；
（2）若关于n的不等式
1
n+log2(1+
1
a1
)
+
1
n+log2(1+
1
a2
)
+…+
1
n+log2(1+
1
an
)
＜m-3有解，求整数m的最小值；
（3）在数列{1+
1
an
-(-1)n}中，是否存在首项、第r项、第s项（1＜r＜s≤6），使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的r、s；若不存在，请说明理由．

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8．已知递增等比数列{a_n}，满足a₁=1，且a₂a₄-2a₃a₅+a₄a₆=36．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a_n+
1
2
，求数列{a_n²•b_n}的前n项和S_n；
（3）在（2）的条件下，令c_n=
1
bnbn+1bn+2
，{c_n}的前n项和为T_n，若T_n＞λ恒成立，求λ的取值范围．

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9．设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则

sinA+cosA•tanC

sinB+cosB•tanC

的取值范围是（　　）

A．（0，+∞）

B．(

-1

，+∞)

C．(0，

)

D．(

-1

，

)

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10．已知数列{a_n}的奇数项是首项为1的等差数列．偶数项是首项为2的等比数列，设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₄=S₃．a₉=a₃+a₄．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）若a_ka_k+1=a_k+2，求正整数k的值：
（3）是否存在正整数k．使得
S2k
S2k-1
恰好为数列{a_n}的奇数项？若存在，求出所有满足条件的正整数k：若不存在．请说明理由．

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