知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设数列{a_n}的前n项和为S_n，d为常数，已知对∀n，m∈N^*，当n＞m，总有S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d成立
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）探究：命题p：“对∀n，m∈N^*，当n＞m时，总有S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d”是命题q：“数列{a_n}是等差数列”的充要条件吗？请证明你的结论；
（3）若正整数n，m，k成等差数列，比较S_n+S_k与2S_m的大小，并说明理由．

难度：较难

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2．设各项均为正数的无穷数列{a_n}，{b_n}满足：对任意n∈N^*都有2b_n=a_n+a_n+1且a_n+1²=b_n•b_n+1，
（1）求证：数列{
bn
}是等差数列；
（2）设a₁=1，a₂=2，求{a_n}和{b_n}的通项公式．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），a₁=1，
（1）求证数列数列{
1
Sn
}是等差数列
（2）求a_n．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}、{b_n}满足：a_n+1=a_n+1，b_n+1=b_n+
1
2
an，c_n=an2-4b_n，n∈N^*：
（1）若a₁=1，b₁=0，求数列{a_n}、{b_n}的通项公式：
（2）证明：数列{c_n}是等差数列：
（3）定义f_n（x）=x²+a_nx+b_n，证明：若存在K∈N^*，使得a_k、b_k为整数，且f_k（x）有两个整数零点，则必有无穷多个f_n（x）有两个整数零点：

难度：中等

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5．数列{a_n}满足a_n=6-
9
an-1
（n∈N^*，n≥2）．
（1）求证：数列{
1
an-3
}是等差数列；
（2）若a₁=6，求数列{|lga_n|}的前999项的和．

难度：中等

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6．已知各项不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=
1
2
a_n•a_n+1（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）设数列{b_n}满足：b_n=2an-2an+1，且
lim
n→∞
（b_kb_k+1+b_k+1b_k+2+…+b_nb_n+1）=
1
384
，求正整数k的值；
（3）若m、k均为正整数，且m≥2，k＜m．在数列{c_k}中，c₁=1，
ck+1
ck
=
k-m
ak+1
，求c₁+c₂+…+c_m．

难度：中等

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7．设数列{a_n}的各项均为正数，{a_n}的前n项和Sn=
1
4
(an+1)2，n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）等比数列{b_n}的各项均为正数，bnbn+1≥Sn2，n∈N^*，且存在整数k≥2，使得bkbk+1=Sk2．
（i）求数列{b_n}公比q的最小值（用k表示）；
（ii）当n≥2时，bn∈N*，求数列{b_n}的通项公式．

难度：较难

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8．已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，对于任意n∈N₊均有f（1）=n²+n．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{a_n}为等差数列；
（2）若n为偶数，且bn=2f(-1)，求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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9． “数列{a_n}成等比数列”是“数列{lga_n+1}成等差数列”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

难度：中等

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10．下列命题中假命题是（　　）

A．数列{a_n}是等差数列的充要条件是其前n项和是Sn=an2+bn，a，b∈R

B．数列{a_n}是公比为q的等比数列且其前n项和是Sn=kqn+t(q≠0且q≠1)，则k+t=0

C．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n也是等差数列

D．等比数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n也是等比数列

难度：中等

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