知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设f_k（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n．对于任意的正整数n，a_n+S_n=f_k（n）都成立．
（I）若k=0，求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{a_n}能成等差数列．

难度：较难

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2．已知数列{a_n}中a₁=2，an+1=2-
1
an
，数列{b_n}中bn=
1
an-1
，其中 n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）设S_n是数列{
1
3
bn}的前n项和，求
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
；
（Ⅲ）设T_n是数列{ (
1
3
)n•bn }的前n项和，求证：Tn＜
3
4
．

难度：较难

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3．设数列{a_n}的前n项和为S_n且Sn2-2S_n-a_nS_n+1=0，n=1，2，3…
（1）求a₁，a₂
（2）求S_n与S_n-1（n≥2）的关系式，并证明数列{
1
Sn-1
}是等差数列．
（3）求S₁•S₂•S₃…S₂₀₁₀•S₂₀₁₁的值．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}中，a_n+1=3S_n ，则下列关于{a_n}的说法正确的是（）

A．一定为等差数列

B．一定为等比数列

C．可能为等差数列，但不会为等比数列

D．可能为等比数列，但不会为等差数列

难度：中等

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5． “数列{a_n}成等比数列”是“数列{lga_n+1}成等差数列”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

难度：中等

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6．设k，b均为非零常数，给出如下三个条件：
①{a_n}与{ka_n+b}均为等比数列；
②{a_n}为等差数列，{ka_n+b}为等比数列；
③{a_n}为等比数列，{ka_n+b}为等差数列；
其中一定能推导出数列{a_n}为常数列的是．（填上所有满足要求的条件的序号）

难度：中等

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7．在数列{b_n}中，a_n+3=a_n+3（n∈N₊），a₁=1，S_n是其前n项和．记b_n=
n+a cSn+a
（a≥0，c＞0，c≠1）．
（1）设数列{a_3n-2}（n∈N₊）的前n项和T_n，求T_n表达式；
（2）若S₁₅=15a₈=120，证明：{a_n}以为等差数列：
（3）若数列{b_n}为等比数列，求数列{a_n}的通项公式，并求此时实数a的值．

难度：较难

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8．已知各项均不为零的数列{a_n}满足a₁=a（a＞0），当n≥2时，a_n，0，S_n•S_n-1成等差数列，其中S_n为数列{a_n}前n项和．
（1）用a表示a₂，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式（用a表示）；
（3）{a_n}中是否存在连续的三项a_k-1，a_k，a_k+1为等差数列？若存在，求出k及对应的a的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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9．已知点列A_n{n，a_n}、B_n{n，b_n}、C_n{n-1，0}，a₁=b₁=1，
BnBn+1
=（1，2），
AnAn+1
∥
BnCn

（Ⅰ）求证数列{b_n}为等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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10．设函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f′（x）表示f（x）的导函数．
（1）求函数y=f（x）的单调增区间；
（2）当k为偶数时，数列{a_n}满足：a₁=1，a_nf′（a_n）=a_n+1²-3．证明：数列{a_n²}中的任意三项不能构成等差数列；
（3）当k为奇数时，证明：对任意正整数都有[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（xⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）成立．

难度：难

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n+a	cSn+a