知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设数列{a_n}的前n项和为S_n，d为常数，已知对∀n，m∈N^*，当n＞m，总有S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d成立
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）探究：命题p：“对∀n，m∈N^*，当n＞m时，总有S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d”是命题q：“数列{a_n}是等差数列”的充要条件吗？请证明你的结论；
（3）若正整数n，m，k成等差数列，比较S_n+S_k与2S_m的大小，并说明理由．

难度：较难

解析收藏试题篮
2．设各项均为正数的无穷数列{a_n}，{b_n}满足：对任意n∈N^*都有2b_n=a_n+a_n+1且a_n+1²=b_n•b_n+1，
（1）求证：数列{
bn
}是等差数列；
（2）设a₁=1，a₂=2，求{a_n}和{b_n}的通项公式．

难度：中等

解析收藏试题篮
3．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），a₁=1，
（1）求证数列数列{
1
Sn
}是等差数列
（2）求a_n．

难度：中等

解析收藏试题篮

4．从1、2、3、4、5这五个数中任取三个数，则所取的三个数能构成等差数列的概率为（　　）

A．

B．

C．

D．

难度：中等

解析收藏试题篮

5．已知数列{a_n}的首项a₁=1，∀n∈N⁺，a_n+1=
2an
2+an
．
（1）证明：数列{
1
an
}是等差数列；
（2）求数列{
an
n
}的前n项和S_n．

难度：中等

解析收藏试题篮
6．已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，且数列{a_n}的前n 项和S _n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2（n≥3）
（1）求证：{a_n}为等差数列；
（2）记数列b_n=
an
3n
，试归纳数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

解析收藏试题篮
7．已知各项均为正整数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足：S_n-1+ka_n=ta_n²-1，n≥2，n∈N^*（其中k，t为常数）．
（1）若k=
1
2
，t=
1
4
，数列{a_n}是等差数列，求a₁的值；
（2）若数列{a_n}是等比数列，求证：k＜t．

难度：较难

解析收藏试题篮
8．设各项均为正数的数列{a_n}满足
Sn
an
=pn+r（p，r为常数），其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）若p=1，r=0，求证：{a_n}是等差数列；
（2）若p=
1
3
，a₁=2，求数列{a_n}的通项公式；
（3）若a₂₀₁₅=2015a₁，求p•r的值．

难度：较难

解析收藏试题篮
9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，4a_na_n-1+S_n=S_n-1+a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）证明：数列{
1
an
}是等差数列；
（2）若
an
λ
+
1
an+1
≥
1
λ
对任意整数n（n≥2）恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：较难

解析收藏试题篮
10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹-1（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃
（2）求实数λ使{
an+λ
2n
}为等差数列，并由此求出a_n与S_n；
（3）求n的所有取值，使
Sn
an
∈N^*，说明你的理由．

难度：较难

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷