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          共50条信息

            • 1． 已知数列{an}中，a1=2，an+1=2-
              1
              an
              ，数列{bn}中，bn=
              1
              an-1
              ，其中n∈N*；
              （1）求证：数列{bn}是等差数列；
              （2）若Sn是数列{bn}的前n项和，求
              1
              S1
              +
              1
              S2
              +…+
              1
              Sn
              的值．
              难度：中等
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            • 2． 下列命题中假命题是（　　）
              A．数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和是Sn=an2+bn，a，b∈R
              B．数列{an}是公比为q的等比数列且其前n项和是Sn=kqn+t(q≠0且q≠1)，则k+t=0
              C．等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也是等差数列
              D．等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也是等比数列
              难度：中等
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            • 3． 设数列{an}的前项和为Sn，且{
              Sn
              n
              }是等差数列，已知a1=1，
              S2
              2
              +
              S3
              3
              +
              S4
              4
              =6，
              （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
              （Ⅱ）若bn=
              an+1
              an+2
              +
              an+2
              an+1
              ，数列{bn}的前项和为Tn，求证：Tn＜2n+
              1
              2
              ．
              难度：中等
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            • 4． 设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N*，数列{bn}满足b1=2，b4=31，且{bn-an}为等差数列．
              （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
              （Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Sn．
              难度：中等
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            • 5． 已知数列{an}的前n项和Sn=-an-(
              1
              2
              )n-1+2              ，bn=2nan，cn=2an+1-an（n∈N*）则（　　）
              A．{bn}是等差数列，{cn}是等比数列
              B．{bn}是等比数列，{cn}是等差数列
              C．{bn}是等差数列，{cn}是等差数列
              D．{bn}是等比数列，{cn}是等比数列
              难度：较难
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            • 6． 已知数列{an}满足a1=6，an+1=4-
              4
              an
              (n              为正整数）．
              （Ⅰ）求证：数列{
              an+2
              an-2
              }              为等差数列；
              （Ⅱ）若bn=
              an
              (2n+1)2
              ，求数列{bn}的前n项和Sn．
              难度：中等
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            • 7． 已知数列{an}满足：a1=2，a3+a5=-4．
              （Ⅰ）若数列{an}是等差数列，求数列{an}的通项公式；
              （Ⅱ）若a4=-1，且2an+1=an+an+2+k（n∈N*，k∈R），
              ①证明数列{an+1-an}是等差数列；
              ②‚求数列{an}的通项公式．
              难度：中等
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            • 8． 已知数列{an}中，a1=3，（n+1）an-nan+1=1，n∈N*
              （Ⅰ）证明：数列{an}是等差数列，并求{an}的通项公式；
              （Ⅱ）设数列{bn}的通项bn=
              4
              (an-1)(an+1-1)
              ，记数列{bn}的前n项和为Tn，若对n∈N*，Tn≤k（n+4）恒成立，求实数k的取值范围．
              难度：中等
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            • 9． 已知数列An：a1，a2，…，an．如果数列Bn：b1，b2，…，bn满足b1=an，bk=ak-1+ak-bk-1，其中k=2，3，…，n，则称Bn为An的“衍生数列”．
              （Ⅰ）写出数列A4：2，1，4，5的“衍生数列”B4；
              （Ⅱ）若n为偶数，且An的“衍生数列”是Bn，证明：bn=a1；
              （Ⅲ）若n为奇数，且An的“衍生数列”是Bn，Bn的“衍生数列”是Cn，…．依次将数列An，Bn，Cn，…的首项取出，构成数列Ω：a1，b1，c1，…．证明：Ω是等差数列．
              难度：较难
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            • 10． 点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C：x2=2y上的不同两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两条切线交于点P（x0，y0）．
              （1）求证：x0是x1与x2的等差中项；
              （2）若直线AB过定点M（0，1），求证：原点O是△PAB的垂心；
              （3）在（2）的条件下，求△PAB的重心G的轨迹方程．
              难度：中等
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