知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知
a
，
b
的夹角为120°，|
a
|=2，|
b
|=3，记|
m
=3
a
-2
b
，
n
=2
a
+k
b
．
（1）若
m
⊥
n
，求实数k的值．
（2）是否存在实数k，使得
m
∥
n
？说明理由．

难度：中等

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2．已知
m
=(-2sinx，cosx)，
n
=（cosx，2sin（x+
π
2
）），且函数f（x）=
m
•
n
+1
（1）求方程f（x）-1=0在（0，π）内有两个零点x₁，x₂，并求f（x₁+x₂）的值；
（2）若把函数y=f（x）的图象向左平移
π
3
个单位，再向上平移2个单位，得函数g（x）图象，求函数g（x）的单调增区间．

难度：中等

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3．已知向量
m
，
n
的夹角为60°，且|
m
|=1，|
n
|=2，又
a
=2
m
+
n
，
b
=-3
m
+
n

（Ⅰ）求
a
与
b
的夹角的余弦；
（Ⅱ）设
c
=t
a
-
b
，
d
=
m
-
n
，若
c
⊥
d
，求实数t的值．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=
3
sin²（x+
π
4
）-cos²x-
1+
3
2
（x∈R）．
（1）求函数f（x）最小值和最小正周期；
（2）若A为锐角，且向量
m
=（1，5）与向量
n
=（1，f（
x
4
-A））垂直，求cos2A．

难度：中等

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5．定义向量
OM
=(a，b)的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx；函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为
OM
=(a，b)（其中O为坐标原点）．
（1）若g(x)=3sin(x+
3π
2
)+4sinx，求g（x）的“相伴向量”；
（2）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）²+y²=1上一点，向量
OM
的“相伴函数”f（x）在x=x₀处取得最大值，当点M在圆C上运动时，求tan2x₀的取值范围．

难度：较难

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6．如图，在平面直角坐标系xoy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（1）若点A的纵坐标是
4
5
，点B的纵坐标是
12
13
，求sin（α+β）的值；
（2）若|
AB
|=
3
2
，求|
OA
+2
OB
|的值．

难度：较难

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7．设向量
a
=(λ+2，λ2-
3
cos2α)，向量
a
=(m，
m
2
+sinαcosα)，其中λ，m，α为实数．若向量
a
=2
b
，则
λ
m
的取值范围为．

难度：较难

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8．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，M，N分别是AD，BC的中点，P是CD上一点，Q是AB上一点，PM与QN交于R，A是原点，B（2，0），C（2，1），D（0，1），P（t，1），Q（t，0），
（1）若
MP
⊥
NP
，求t的值
（2）求证：R，A，C三点共线．

难度：中等

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9．已知向量
a
=(
3
cosx，cosx），
b
=（0，sinx），
c
=（sinx，cosx），
d
=（sinx，sinx）．
（Ⅰ）当x=
π
4
时，求向量
a
、
b
的夹角；
（Ⅱ）当x∈[0，
π
2
]时，求
c
•
d
的最大值．

难度：中等

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10．已知
a
=（
3
，cosωx），
b
=（sinωx，-1），（0＜ω＜3，x∈R）．函数f（x）=
a
•
b
，若将函数f（x）的图象向左平移
π
3
个单位，则得到y=g（x）的图象，且函数y=g（x）为偶函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调增区间；
（Ⅱ）若f(
α
2
)=
1
2
，(
π
6
＜α＜
2
3
π)，求sinα的值．

难度：中等

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