知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．观察下列各式（如图）：

照此规律，当n∈N^*时，1+
1
22
+
1
32
+…+
1
(n+1)2
＜．

难度：较易

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2．按照如下的规律构造数表：
第一行是：2；
第二行是：2+1，2+3：即3，5；
第三行是：3+1，3+3，5+1，5+3，即：4，6，6，8，
…
（即从第二行起将上一行的数的每一项各加1写出，再各项再加3写出），若第n行所有的项的和为a_n；
2
3 5
4 6 6 8
5 7 7 9 7 9 9 11
…
（1）求a₃，a₄，a₅；
（2）试写出a_n+1与a_n的递推关系，并据此求出数列{a_n}的通项公式；
（3）设S_n=
a3
a1a2
+
a4
a2a3
+…+
an+2
anan+1
（n∈N^*），求S_n和
lim
n→∞
S_n的值．

难度：中等

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3．（2016•江苏模拟）设数列{a_n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a₁，第二层两个数a₂和a₃，第三层三个数a₄，a₅和a₆，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a₁=a₂+a₃，a₂=a₄+a₅，a₃=a₅+a₆，…．
（1）若第四层四个数为0或1，a₁为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？
（2）若第十一层十一个数为0或1，a₁为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？

难度：中等

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4．一同学在电脑中打出如下若干个圆（图中●表示实心圆，○表示空心圆）：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圆依次复制得到一系列圆，那么在前2016个圆中有个实心圆．

难度：中等

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5．（2013秋•房山区期末）2010年，我国南方省市遭遇旱涝灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图，在区域{（x，y）|x≥0，y≥0}内植树，第一棵树在A₁（0，1）点，第二棵树在B₁（1，1）点，第三棵树在C₁（1，0）点，第四棵树在C₂（2，0）点，接着按图中箭头方向，每隔一个单位种一棵树，那么，第2014棵树所在的点的坐标是．

难度：较易

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6．已知P₁、P₂是平面内的两点，当k∈N^*时，P_2k+1是P_2k关于点P₁的对称点，P_2k+2是P_2k+1关于点P₂的对称点，若P₁P₂=1，则P₂₀₁₆P₂₀₁₇= ．

难度：中等

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7．已知：
1+
1
2
=
3
2

1+
1
2
+
1
3
+
1
4
＞2
1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
＞
5
2

1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+
1
9
+…+
1
16
＞3
…
以此类推，写出一般的结论并加以证明．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}满足a₁=1，
an
an+1
=
n
n+1
（n=1，2，3…）．
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅，并猜想通项公式a_n．
（2）根据（1）中的猜想，有下面的数阵：
S₁=a₁
S₂=a₂+a₃
S₃=a₄+a₅+a₆
S₄=a₇+a₈+a₉+a₁₀
S₅=a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄+a₁₅
试求S₁，S₁+S₃，S₁+S₃+S₅，并猜想S₁+S₃+S₅+…+S_2n-1的值．

难度：中等

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9．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a₁=1，第2个五角形数记作a₂=5，第3个五角形数记作a₃=12，第4个五角形数记作a₄=22，…，若按此规律继续下去，得数列{a_n}，则a_n-a_n-1= （n≥2）；对n∈N^*，a_n= ．

难度：中等

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10．老子《道德经》云“道生一，一生二，二生三，三生万物．”这与裴波那契数列非常吻合，对于裴波那契数列{a_n}，可知
a
2
1
+
a
2
2
=a₂a₃，
a
2
1
+
a
2
2
+
a
2
3
=a₃a₄，…，则
a
2
1
+a
2
2
+a
2
3
+…
+a
2
10
a10
= ．

难度：中等

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