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          共50条信息

            • 1． （2016•中山市校级模拟）如图甲，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D为．垂足，则AB2=BD•BC，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，且O在△BCD内，类比射影定理，探究S△ABC、S△BCO、S△BCD这三者之间满足的关系是    ．
              难度：中等
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            • 2． 设集合M={1，2，3，…，n}（n≥3），记M的含有三个元素的子集个数为Sn，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为Tn．
              （1）求
              T3
              S3
              ，
              T4
              S4
              ，
              T5
              S5
              ，
              T6
              S6
              的值；
              （2）猜想
              Tn
              Sn
              的表达式，并证明之．
              难度：较难
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            • 3． 观察下列等式：
              1=1                     第一个式子
              2+3+4=9                 第二个式子
              3+4+5+6+7=25            第三个式子
              4+5+6+7+8+9+10=49       第四个式子
              照此规律下去：
              （Ⅰ）写出第五个等式；
              （Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．
              难度：中等
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            • 4． 已知“一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大”．
              （1）设一个圆和一个正方形的周长相等，都为l，请你用l分别表示出圆和正方形的面积，并用分析法证明该命题；
              （2）类比球体与正方体，写出一个正确的命题（不要求证明）．
              难度：中等
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            • 5． 在△ABC（如图1），若CE是∠ACB的平分线，则
              AC
              BC
              =
              AE
              BE
              ．其证明过程如下：
              作EG⊥AC于点G，EH⊥BC于点H，CF⊥AB于点F，
              ∵CE是∠ACB的平分线，
              ∴EG=EH．
              又∵
              AC
              BC
              =
              AC•EG
              BC•EH
              =
              S△AEC
              S△BEC
              ，
              AE
              BE
              =
              AE•CF
              BE•CF
              =
              S△AEC
              S△BEC
              ，
              ∴
              AC
              BC
              =
              AE
              BE

              （1）把上面结论推广到空间中：在四面体A-BCD中（如图2），平面CDE是二面角A-CD-B的角平分面，类比三角形中的结论，你得到的相应空间的结论是    
              （2）证明你所得到的结论．
              难度：较难
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            • 6． 已知f（x）=
              x
              ex
              ，定义f1（x）=f′（x），f2（x）=[f1（x）]′，…，fn+1（x）=[fn（x）]′，n∈N．经计算f1（x）=
              1-x
              ex
              ，f2（x）=
              x-2
              ex
              ，f3（x）=
              3-x
              ex
              ，…，照此规律．
              （Ⅰ）请归纳出fn（x）的表达式；
              （Ⅱ）试用数学归纳法证明你的结论．
              难度：中等
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            • 7． 对于下列数的排列：
              2，3，4
              3，4，5，6，7
              4，5，6，7，8，9，10
              …
              写出并证明第n行所有数的和an与n的关系式．
              难度：中等
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            • 8． 对于数列{an}，a1=a+
              1
              a
              （a＞0．，且a≠1），an+1=a1-
              1
              an
              ．
              （1）求a2，a3，a4，并猜想这个数列的通项公式；
              （2）用数学归纳法证明你的猜想．
              难度：中等
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            • 9． 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，它们的体积比为多少？你能验证这个结论吗？
              难度：较易
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            • 10． 观察以下各式：cos6°cos54°cos66°=
              1
              4
              cos18°，cos19°cos41°cos79°=
              1
              4
              cos57°，cos27°cos33°cos87°=
              1
              4
              cos81°．
              （1）分析上述各式的共同特点，写出一个能反映一般规律的等式；
              （2）证明你写出的等式．
              难度：中等
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