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          共50条信息

            • 1． 观察给出的下列各式：
              （1）tan10°•tan20°+tan20°•tan60°+tan60°•tan10°=1；
              （2）tan5°•tan15°+tan15°•tan70°+tan70°•tan5°=1．
              由以上两式成立，你能得到一个什么样的推广？证明你的结论．
              难度：中等
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            • 2． 对正整数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分拆”：13{1，23
              3
              5
              ，33
              7
              9
              11
              ，43
              13
              15
              17
              19
              }，…以此类推，若m3的“分拆”中含有奇数2015，则m的值为    ．
              难度：较难
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            • 3． 数列{bn}满足b1=1，bn+1=
              bn
              1+2bn

              （1）求b2、b3、b4并猜想数列{bn}的通项公式；
              （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想；
              （3）设cn=bnbn+1，求数列{cn} 的前n项和Tn．
              难度：中等
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            • 4． 下列式子：13=（1×1）2，13+23+33=（2×3）2，l3+23+33+43+53=（3×5）2，l3+23+33+43+53+63+73=（4×7）2，…由归纳思想，第n个式子为    ．
              难度：中等
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            • 5． （2015秋•株洲校级月考）如图，在平面直角坐标系中，边长为an的一组正三角形AnBn-1Bn的底边Bn-1Bn依次排列在x轴上（B0与坐标原点重合）．设{an}是首项为a，公差为d的等差数列，若所有正三角形顶点An在第一象限，且均落在抛物线y2=2px（p＞0）上，则
              a
              d
              的值为    ．
              难度：中等
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            • 6． 若x＞0，y＞0，且x+y＞2，
              （1）
              x=1
              y=2
              ，
              x=
              1
              2
              y=3
              ，
              x=
              		3
              y=
              		2
              时，分别比较
              1+y
              x
              和
              1+x
              y
              与2的大小关系；
              （2）依据（1）得出的结论，归纳提出一个满足条件x、y都成立的命题并证明．
              难度：中等
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            • 7． （1）数列{an}满足Sn=2n-an（n∈N*）．计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；
              （2）用分析法证明：若a＞0，则
              		a2+
              1
              a2
              -
              		2
              ≥a+
              1
              a
              -2．
              难度：中等
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            • 8． 已知1，2，…，n满足下列性质T的排列a1，a2，…，an的个数为f（n）（n≥2）排列a1，a2，…，an中有且只有一个ai＞ai+1（i∈{1，2，…，n-1}）
              （1）求f（3）=    ；f（4）=    ；f（5）=    
              （2）求f（n）的表达式，并证明你的结论．
              难度：较难
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            • 9． 已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=
              1
              2
              ，2Sn+1=Sn+
              1
              2n
              （n∈N*）．根据上述条件可归纳出这个数列的通项公式为an=    ．
              难度：较易
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            • 10． 已知数列{an}的前n项和Sn满足条件：Sn+an=
              n2+1
              n2+n
              ．
              （1）求a1、a2、a3的值；
              （2）猜测数列{an}的通项公式，并给出证明；
              （3）求
              lim
              n→∞
              n2an．
              难度：中等
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