知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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1．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为 $\text{[math]}$ ．若a²sinC=4sinA，（a+c）²=12+b² ，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）

A． $\text{[math]}$

B．2

C．3

D． $\text{[math]}$

难度：中等

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2．（2016•中山市校级模拟）如图甲，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D为．垂足，则AB²=BD•BC，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，且O在△BCD内，类比射影定理，探究S_△ABC、S_△BCO、S_△BCD这三者之间满足的关系是．

难度：中等

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3．经过圆x²+y²=r²上一点M（x₀，y₀）的切线方程为x₀x+y₀y=r²．类比上述性质，可以得到椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1类似的性质为：经过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1上一点P（x₀，y₀）的切线方程为．

难度：较难

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4．经过圆x²+y²=r²上一点M（x₀ ， y₀）的切线方程为x₀x+y₀y=r² ．类比上述性质，可以得到椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1类似的性质为：经过椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1上一点P（x₀ ， y₀）的切线方程为．

难度：中等

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5．设a，b，c为空间中三条不同的直线，给出如下两个命题：
①若a∥b，b⊥c，则a⊥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c．
试类比以上某个命题，写出一个正确的命题：设α，β，γ为三个不同的平面，．

难度：中等

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6．下列表述正确的是（　　）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②合情推理的结果一定是正确的；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．

A．①②③

B．②③④

C．②④⑤

D．①③⑤

难度：较易

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7．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集D={
a
|
a
=(x，y)，x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”．定义如下：对于任意两个向量
a1
=(x1，y1)，
a2
=(x2，y2)，
a1
＞
a2
当且仅当“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”．
按上述定义的关系“＞”，给出如下四个命题：
①若
e1
=(1，0)，
e2
=（0，1），
0
=(0，0)则
e1
＞
e2
＞
0
；
②若
a1
＞
a2
，
a2
＞
a3
，则
a1
＞
a3
；
③若
a1
＞
a2
，则对于任意
a
∈D，
a1
+
a
＞
a2
+
a
；
④对于任意向量
a
＞
0
，
0
=(0，0)，若
a1
＞
a2
，则
a
•
a1
＞
a
•
a2
．
其中真命题的序号为．

难度：较难

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8．对于平面内的命题：“△ABC内接于圆O，圆O的半径为R，且O点在△ABC内，连接AO，BO，CO并延长分别交对边于A₁，B₁，C₁，则AA1+BB1+CC1≥
9R
2
”．
证明如下：
OA1
AA1
+
OB1
BB1
+
OC1
CC1
=
S△OBC
S△ABC
+
S△OAC
S△ABC
+
S△OAB
S△ABC
=1，
即：
AA1-R
AA1
+
BB1-R
BB1
+
CC1-R
CC1
=1，即
1
AA1
+
1
BB1
+
1
CC1
=
2
R
，
由柯西不等式，得(AA1+BB1+CC1)(
1
AA1
+
1
BB1
+
1
CC1
)≥9．∴AA1+BB1+CC1≥
9R
2
．
将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD内接于半径为R的球O内，球心O在该四面体内，连接AO，BO，CO，DO并延长分别与对面交于A₁，B₁，C₁，D₁，则 ”．

难度：较难

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9．老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式
OP
=
OA
+λ(
AB
cosC
|
AB
|
+
AC
cosB
|
AC
|
)，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为
OP
= ．（用O，A，B，C四个点所构成的向量和角A，B，C的三角函数以及λ表示）

难度：较难

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10．下面有4个命题：
①当（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0时，的最小值为2；
②若双曲线的一条渐近线方程为，且其一个焦点与抛物线y²=8x的焦点重合，则双曲线的离心率为2；
③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象；
其中错误命题的序号为（把你认为错误命题的序号都填上）．

难度：中等

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