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          共50条信息

            • 1． 对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，…，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n，a1-1，a2-1，…，an-1．
              对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，…，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）．
              又定义S（B）=2（b1+2b2+…+mbm）+b12+b22+…+bm2．
              设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2（T1（Ak））（k=0，1，2，…）．
              （Ⅰ）如果数列A0为2，6，4，8，写出数列A1，A2；
              （Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A））=S（A）；
              （Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S（Ak+1）=S（Ak）．
              难度：较难
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            • 2． 证明命题：“f（x）=ex+
              1
              ex
              在（0，+∞）上是增函数”，现给出的证法如下：
              因为f（x）=ex+
              1
              ex
              ，所以f′（x）=ex-
              1
              ex
              ，
              因为x＞0，所以ex＞1，0＜
              1
              ex
              ＜1，
              所以ex-
              1
              ex
              ＞0，即f′（x）＞0，
              所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，使用的证明方法是（　　）
              A．综合法
              B．分析法
              C．反证法
              D．以上都不是
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            • 3． 对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn），记T1（P）=a1+b1，Tk（P）=bk+max{Tk-1（P），a1+a2+…+ak}（2≤k≤n），其中max{Tk-1（P），a1+a2+…+ak}表示Tk-1（P）和a1+a2+…+ak两个数中最大的数，
              （Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；
              （Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；
              （Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）．
              难度：较难
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            • 4． 设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．
              （Ⅰ）证明：当x＞-1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；
              （Ⅱ）数列{an}满足a1＞c
              1
              p
              ，an+1=
              p-1
              p
              an+
              c
              p
              an1-p．证明：an＞an+1＞c
              1
              p
              ．
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            • 5． 设x＞0，y＞0，且x+y=1，求证（1+
              1
              x
              ）（1+
              1
              y
              ）≥9．
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            • 6． 已知函数f（x）=logn+1x（n＞0），且 g（x）=x+f（x+2）-f（n-x）是奇函数．
              （1）求实数n的值；
              （2）求g（x）图象与直线y=-2，x=1围成的封闭图形的面积S；
              （3）对于任意a，b，c∈[M，+∞），且a≥b≥c．当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，f（a），f（b），f（c）也总能作为某个三角形的三边长，试求M的最小值．
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            • 7． 已知函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令A=
              cosα
              sinα+sin3α
              ，B=
              1+α2
              4α
              ．则（　　）
              A．A＞B
              B．A＜B
              C．A=B
              D．A与B的大小不确定
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            • 8． 已知函数f（x）=log2x
              （Ⅰ）若f（x）的反函数是函数y=g（x），解方程g（2x）=2g（x）+10；
              （Ⅱ）对于任意a、b、c∈[M，+∞），M＞1且a≥b≥c．当a，b，c能作为一个三角形的三边长时，f（a）、f（b）、f（c）也总能作为某个三角形的三边长，试分别探究下面两个问题：
              （1）当1＜M＜2时，是否存在a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，以f（a）、f（b）、f（c）不能作为三角形的三边长．
              （2）M≥2，证明：对于任a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，f（a）、f（b）、f（c）总能作为三角形的三边长．
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            • 9． 设a＞1，n∈N，若不等式
              na
              -1＜
              a-1
              n
              恒成立时，n的最小值为    ．
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            • 10． 若m、n∈{x|x=a2×102+a1×10+a0}，其中ai∈{1，2，3，4，5，6，7}，i=0，1，2，并且m+n=636，则实数对（m，n）表示平面上不同点的个数为（　　）
              A．60个
              B．70个
              C．90个
              D．120个
              难度：较难
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