知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0，用反证法证明：a，b，c＞0．

难度：中等

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2．已知函数f（x）的定义域为D，若它的值域是D的子集，则称f（x）在D上封闭．
（Ⅰ）试判断f（x）=2^x，g（x）=log₂x是否在（1，+∞）上封闭；
（Ⅱ）设f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））（n∈N^*，n≥2），求证：f_n（x）在D上封闭的充分条件是f₁（x）在D上封闭；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中f_n（x）（n∈N^*）的定义域均为D，那么f₁（x）在D上封闭是f_n（x）在D上封闭的必要条件吗？证明你的结论．

难度：较难

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3．若a、b、c是正实数，则关于x的方程：8x2-8
a
x+b=0，8x2-8
b
x+c=0，8x2-8
c
x+a=0至少有一个方程有两个不相等的实数根

难度：中等

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4．已知函数f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x₀∈（a，b），使得
f(b)-f(a)
b-a
=f′(x0)”成立．
（1）利用这个性质证明x₀唯一；
（2）设A、B、C是函数f（x）图象上三个不同的点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

难度：较难

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5．设a₁，a₂，…，a_2n+1均为整数，性质P为：对a₁，a₂，…，a_2n+1中任意2n个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n个数，使得两组所有元素的和相等求证：a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等当且仅当a₁，a₂，…，a_2n+1具有性质P．

难度：较难

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6．用反证法证明：已知0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1．
求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一个不大于
1
4
．

难度：中等

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7．用反证法证明：若a，b，c，d均为小于1的正数，且x=4a（1-b），y=4b（1-c），z=4c（1-d），t=4d（1-a），则x，y，z，t四个数中，至少有一个不大于1．

难度：中等

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8．已知f（x）=x²+ax+b，用反证法证明：|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|不都小于
1
2
．

难度：较易

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9．设两个一元二次方程ax²+2bx+1=0和cx²+2dx+1=0（其中a，b，c，d均为实数）满足a+c=2bd．求证：上述两个方程中至少有一个方程有实数根．

难度：较易

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10．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为有理数的点称为有理点．试根据这一定义，证明下列命题：若直线y=kx+b（k≠0）经过点M（
2
，1），则此直线不能经过两个有理点．

难度：较难

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