知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”，给出下列四个函数：
①f（x）=sin（
π
2
x）
②f（x）=|2^x-1|
③f（x）=2x²-1
④f（x）=log₂（2x-2）．
其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的序号为．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=
3
sin（2ωx-
π
3
）+b，且函数的对称中心到对称轴的最小距离为
π
4
，当x∈[0，
π
3
]时，f（x）的最大值为1
（1）求函数f（x）的解析式
（2）若f（x）-3≤m≤f（x）+3在x∈[0，
π
3
]上恒成立，求m的取值范围．

难度：较难

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3．在直角坐标系中，已知曲线C：
x=
3
acosθ
y=
2
asinθ
（ a＞0，θ为参数），设点O（0，0），B（0，
2
a），F（-a，0），若点P在曲线C上，且位于第二象限内．
（1）求到直线x-y-5a=0的距离为最大值的点P的坐标；
（2）求S_△PB0•S_△PFO的最大值；
（3）设直线
2
cosθ•x+
3
sinθ•y=
6
a（
π
2
＜θ＜π）分别交x，y轴于点M，N．求
S△PBO
S△MON
的最大值．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=
2
sin(x+
π
4
)+
2
sinx
．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若f（x）=2，求x的取值集合及sin2x的值．

难度：较难

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5．函数y=sinx的定义域是，值域是
函数y=tanx的定义域是，值域是．

难度：较难

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6．若函数f(x)=

sin(2x-

)在[0，a]上的值域为[0，

]，则实数a的取值（　　）

A．[0，

3π

]

B．[

3π

，

3π

]

C．[0，π]

D．[

3π

，π]

难度：较难

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7．设函数f（θ）=
3
sinθ+cosθ，其中θ的顶点与坐标原点重合，始终与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y）且0≤θ≤π．
（1）若点P的坐标为(
1
2
，
3
2
)，则f（θ）的值为
（2）若点P（x，y）为平面区域Ω：
x+y≥1
x≤1
y≤1
内的一个动点，记f（θ）的最大值为M，最小值m，则log_Mm= ．

难度：较难

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8．设函数f（x）=cosx+sinx，问是否存在α∈（0，
π
2
），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立？证明你的结论．

难度：较难

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9．设函数f（x）=cos（2x+
π
3
）-2sin²x．
（1）求函数f（x）的最大值和单调递增区间；
（2）设A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB=
1
3
，f（
C
2
）=-2，求sinA．

难度：较难

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10．已知函数f（x）=2sin（2x+
π
3
）．
（1）用“五点法”作出函数f（x）在[-
π
6
，
5π
6
]上的图象；
（2）写出函数f（x）在[-
π
6
，
5π
6
]上的单调递增区间；
（3）当x∈[0，
π
2
]时，求函数f（x）的值域．

难度：较难

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