知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（1）化简：
sin(π-α)cos(3π-α)tan(-α-π)tan(α-2π)
tan(4π-α)sin(5π+a)

（2）化简：
sin(5400-x)
tan(9000-x)
•
1
tan(4500-x)tan(8100-x)
•
cos(3600-x)
sin(-x)
．

难度：中等

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2．已知sinα+cosα=
2
3
，0＜α＜π，则tan（α-
π
4
）= ．

难度：中等

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3．已知f（x）=sin2x-2
3
sin²x+2
3
．
（Ⅰ）当x∈[-
π
3
，
π
6
]时，求f（x）的取值范围；
（Ⅱ）已知锐角三角形ABC满足f（A）=
3
，且sinB=
3
5
，b=2，求三角形ABC的面积．

难度：中等

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4．如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、P在单位圆上，且B（-
5
5
，
2
5
5
），∠AOB=α．
（1）求
5cosα+6sinα
4cosα-3sinα
的值；
（2）设∠AOP=θ（
π
6
≤θ≤
2π
3
），
OQ
=
OA
+
OP
，四边形OAQP的面积为S，f（θ）=（
OA
•
OQ
-
1
2
）²+2S²-
1
2
，求f（θ）的最值及此时θ的值．

难度：中等

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5．（1）已知y=sinx+cosx，x∈R，求y的范围；
（2）已知y=sinx+cosx-sin2x，x∈R，求y的范围．

难度：中等

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6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bsinB-asinA=
1
2
asinC，且△ABC的面积为a²sinB，则cosB= ．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=sin x+cos x．
（1）若f（x）=2f（-x），求
cos2x-sinxcosx
1+sin2x
的值；
（2）求函数F（x）=f（x）f（-x）+f ²（x），x∈（0，
π
2
）的值域和单调递增区间．

难度：中等

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8．已知向量
a
=（2cosx，2sinx），
b
=(cosx，-
3
cosx)，函数f（x）=
a
•
b
，g(x)=f(
π
6
x+
π
3
)+ax（a为常数）．
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）若函数g（x）的图象关于y轴对称，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知对任意实数x₁，x₂，都有|cos
π
3
x1-cos
π
3
x2|≤
π
3
|x1-x2|成立，当且仅当x₁=x₂时取“=”．求证：当a＞
2π
3
时，函数g（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

难度：较难

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