为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取\(16\)个零件,并测量其尺寸\((\)单位:\(cm).\)根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布\(N(μ,σ^{2}).\)
\((1)\)假设生产状态正常,记\(X\)表示一天内抽取的\(16\)个零件中其尺寸在\((μ-3σ,μ+3σ)\)之外的零件数,求\(P(X\geqslant 1)\)及\(X\)的数学期望;
\((2)\)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在\((μ-3σ,μ+3σ)\)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
\((ⅰ)\)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
\((ⅱ)\)下面是检验员在一天内抽取的\(16\)个零件的尺寸:
\(9.95\) | \(10.12\) | \(9.96\) | \(9.96\) | \(10.01\) | \(9.92\) | \(9.98\) | \(10.04\) |
\(10.26\) | \(9.91\) | \(10.13\) | \(10.02\) | \(9.22\) | \(10.04\) | \(10.05\) | \(9.95\) |
经计算得\( \overset{ .}{x}= \dfrac {1}{16} \sum\limits_{i=1}^{16}x_{i}=9.97\),\(s= \sqrt { \dfrac {1}{16} \sum\limits_{i=1}^{16}(x_{i}- \overset{ .}{x})^{2}}= \sqrt { \dfrac {1}{16}( \sum\limits_{i=1}^{16}x_{i}^{2}-16 \overset{ .}{x}^{2})}≈0.212\),其中\(x_{i}\)为抽取的第\(i\)个零件的尺寸,\(i=1\),\(2\),\(…\),\(16\).
用样本平均数\( \overset{ .}{x}\)作为\(μ\)的估计值\( \overset{\hat{} }{\mu }\),用样本标准差\(s\)作为\(σ\)的估计值\( \overset{\hat{} }{\sigma }\),利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除\(( \overset{\hat{} }{\mu }-3 \overset{\hat{} }{\sigma }, \overset{\hat{} }{\mu }+3 \overset{\hat{} }{\sigma })\)之外的数据,用剩下的数据估计\(μ\)和\(σ(\)精确到\(0.01)\).
附:若随机变量\(Z\)服从正态分布\(N(μ,σ^{2})\),则\(P(μ-3σ < Z < μ+3σ)=0.9974\),\(0.9974^{16}≈0.9592\),\( \sqrt {0.008}≈0.09\).