知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：

x 2 4 5 6 8

y 30 40 60 50 70
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）预测当广告费支出为9百万元时的销售额．
最小二乘法：
̂
y
=
̂
a
+
̂
b
x，
其中
̂
b
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
x
2
i
-n
.
x
2
，
̂
a
=
.
y
-
̂
b
.
x
．

难度：中等

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2．假设关于某市的房屋面积x（平方米）与购房费用y（万元），有如下的统计数据：

x（平方米） 80 90 100 110

y（万元） 42 46 53 59
（1）根据上述提供的数据在答卷相应位置画出散点图，并用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
̂
y
=bx+a；（假设已知y对x呈线性相关）
（2）若在该市购买120平方米的房屋，估计购房费用是多少？

难度：中等

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3．某兴趣小组研究某城市雾霾等极端天气发生次数与患呼吸道疾病人数多少之间的关系，他们分别到气象局和某医院抄录了1至6月份的雾霾等极端天气发生次数情况与患呼吸道疾病而就诊的人数，得到如下数据：

月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月

雾霾等极端天气发生次数x（次） 10 11 13 12 8 6

患呼吸道疾病就诊人数y（人） 22 25 29 26 16 12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验线性回归方程是否理想．
（Ⅰ）若选出的是1月份和6月份两组数据进行检验，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程
̂
y
=
̂
b
x+
̂
a
；
（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到是线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？并写出具体判断过程．
参考公式：
̂
b
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
xi2-n
.
x
2
=
n
i=1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)
n
i=1
(xi-
.
x
)2
，
̂
a
=
.
y
-
̂
b
.
x
．

难度：中等

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4．通过市场调查，得到某产品的资金投入x（万元）与获得的利润y（万元）的数据，如下表所示：
资金投入x 2 3 4 5 6
利润y 2 3 5 6 9
（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程；
y
=bx+a
（2）计算x=-6时的残差
e
；（残差公式）
ei
=y_i-
yi

（3）现投入资金10万元，求估计获得的利润为多少万元．

难度：中等

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5．某零售商店近五个月的销售额和利润额资料如下表：
商店名称 A B C D E
销售额x（千万元） 3 5 6 7 9
利润额y（百万元） 2 3 3 4 5
（1）画出散点图，观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系；
（2）用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的回归直线方程；
（3）当销售额为4（千万元）时，利用（2）的结论估计该零售店的利润额（百万元）．（参考公式
b
=
n
i=1
(xiyi)-n
.
x
.
y
n
i=1
x
2
i
-n
.
x
2
=
n
i=1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)
n
i=1
(xi-
.
x
)2
，
a
=
.
y
-
b
.
x
）

难度：中等

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6．假设某种设备使用的年限x（年）与所支出的维修费用y（元）有以下统计资料：

使用年限x 2 3 4 5 6

维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
参考数据：
5
i=1
xi2=90，
5
i=1
xiyi=112.3，
如果由资料知y对x呈线性相关关系．试求：
（1）
.
x
，
.
y
；
（2）线性回归方程
∧
y
=bx+a．
（3）估计使用10年时，维修费用是多少？

难度：中等

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7．假设某种设备使用的年限x（年）与所支出的维修费用y（元）有以下统计资料：
使用年限x 2 3 4 5 6
维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
参考数据：，，
如果由资料知y对x呈线性相关关系．试求：
（1）；
（2）线性回归方程=bx+a．
（3）估计使用10年时，维修费用是多少？

难度：中等

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8．已知x、y的取值如下表：
x 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为=0.95x+a，则a= ．

难度：中等

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9．如果样本点只有两个，那么用最小二乘法得出的线性回归方程与用两点式求出的直线方程是否一致？并证明你的结论．

难度：中等

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10．统计中常用相关系数，一来衡量两个变量x、y之间线性相关关系的强弱，其计算公式是r=
n
i=1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)
n
i=1
(xi-
.
x
)2
n
i=1
(yi-
.
y
)2
其中（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）是散点图中的样本点，
.
x
=
1
n
n
i=1
xi，
.
y
=
1
n
n
i=1
yi试证明：r=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
[
n
i=1
xi2-n
.
x
2][
n
i=1
yi2-n
.
y
2]
．

难度：较难

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