知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2017•淄博一模）工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有种．

难度：较难

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2．若（x+
2
x
）ⁿ的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为a，则直线y=
a
6
x与曲线y=x²所围成的封闭区域面积为．

难度：较易

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3．已知(3x2+
x
)n的展开式各项系数和为M，(3x2-
x
)n+5的展开式各项系数和为N，（x+1）ⁿ的展开式各项的系数和为P，且M+N-P=2016，试求(2x2-
1
x2
)2n的展开式中：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项．

难度：中等

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4．从6人中选出4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲，乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有．（用数字作答）

难度：中等

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5．某班共有50名学生，通过调查发现有30人同时在张老师和王老师的朋友圈，只有1人不在任何一个老师的朋友圈，且张老师的朋友圈比王老师的朋友圈多7人，则张老师的朋友圈有人．

难度：较易

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6．一个盒子里有2个黑球和m个白球（m≥2，且m∈N^*）．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中．
（Ⅰ）求每次中奖的概率p（用m表示）；
（Ⅱ）若m=3，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；
（Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p），当m为何值时，f（p）取得最大值？

难度：中等

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7．已知函数f（x）=a^x-x （a＞1）
（1）求证：
f′(x1)+f′(x2)
2
≥f′（
x1+x2
2
）；
（2）求函数f（x）的最小值，并求最小值小于0时的a取值范围；
（3）令S（n）=C

1
n
f′（1）+C

2
n
f′（2）+…+C

n-1
n
f′（n-1），求证：S（n）≥（2ⁿ-2）f′（
n
2
）．

难度：较难

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8．某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．
（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．

难度：难

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9．（1）求证：
A
9
9
-9
A
8
8
+8
A
7
7
=
A
8
8

（2）求(2x3-
1
4x3
)10的展开式的常数项．
（3）求（1+x+x²）（1+x）¹⁰的展开式中x⁴的系数．

难度：中等

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