知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆（x-1）²+（y-1）²=1的两条切线，A、B为切点，C为圆心，求四边形PACB面积S的最小值．

难度：中等

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2．已知直线l₁：2x-y=0，直线l₂：x-y+2=0和直线₃：3x+5y-7=0．
（1）求直线l₁和直线l₂交点C的坐标；
（2）求以C点为圆心，且与直线l₃相切的圆C的标准方程．

难度：较难

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3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若（1）中过点A作圆C的切线，切点分别为E，F，求弦|EF|的长度．

难度：中等

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4．在平面直角坐标系中xOy中，直线x+y+3
2
+1=0与圆C相切，圆心C的坐标为（1，-2）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+1圆C没有公共点，求k的取值范围．
（Ⅲ）设直线y=x+m与圆C交于M、N两点，且OM⊥ON，求m的值．

难度：较难

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5．已知圆O：x²+y²=r²（r＞0），与y轴交于M、N两点且M在N的上方．若直线y=2x+
5
与圆O相切．
（1）求实数r的值；
（2）若动点P满足PM=
3
PN，求△PMN面积的最大值．
（3）设圆O上相异两点A、B满足直线MA、MB的斜率之积为
3
3
．试探究直线AB是否经过定点，若经过，请求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

难度：较难

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6．（Ⅰ）证明：
sinα
1+cosα
=
1-cosα
sinα
．
（Ⅱ）已知圆的方程是x²+y²=r²，则经过圆上一点M（x₀，y₀）的切线方程为x₀x+y₀y=r²，类比上述性质，试写出椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1类似的性质．

难度：中等

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7．求过点P（2，2）且与圆x²+y²-2x=0相切的直线方程．

难度：中等

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8．已知直线l的斜率为1，且与圆C：（x-3）²+（y-4）²=4相交，截得的弦长为2
2
．
（1）求直线l的方程；
（2）设Q点的坐标为（2，3），且动点M到圆C的切线长与|MQ|的比值为实数k（k＞0），若动点M的轨迹方程是圆，试确定k的取值范围．

难度：中等

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9．（1）求过两圆x²+y²+6x-4=0和x²+y²+6y-28=0的交点，且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．
（2）已知圆C：x²+y²=4与点P（3，4），过P点做圆C的两条切线．切点分别为A、B，求直线AB的方程．

难度：中等

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10．已知：正数m取不同的数值时，方程x²+y²-（4m+2）x-2my+4m²+4m+1=0表示不同的圆，求：这些圆的公切线（即与这些圆都相切的直线）的方程．

难度：较易

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