知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点F₁，F₂，M是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且△MF₁F₂的周长为4+2
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l是圆O：x²+y²=
4
3
上动点P（x₀，y₀）（x₀•y₀≠0）处的切线，l与椭圆C交与不同的两点Q，R，证明：∠QOR的大小为定值．

难度：较难

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2．已知一圆C的圆心为C（2，-1），且该圆被直线l：x-y-1=0截得的弦长是2
2
，求该圆的方程和过弦两端点的切线的方程．

难度：中等

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3．已知圆O：x²+y²=5和定点A（4，3），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|
（1）求实数a、b间满足的等量关系；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．

难度：较难

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4．已知圆C：x²+y²-2x+6y+8=0
（Ⅰ）若圆C的不过原点的切线在两坐标轴上的截距相等，求切线方程
（Ⅱ）从圆C外一点P（x，y）引圆的切线PQ，点Q为切点，O为坐标原点，且满足|PQ|=|OP|，当|PQ|最小时，求点P的坐标．

难度：中等

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5．已知两直线l₁：x-2y+4=0和l₂：x+y-2=0的交点为P．
（1）直线l过点P且与直线5x+3y-6=0垂直，求直线l的方程；
（2）圆C过点（3，1）且与l₁相切于点P，求圆C的方程．

难度：中等

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6．过圆x²+y²=1上一点P作圆的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，则|
OA
+2
OB
|的最小值是．

难度：较难

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7．在平面直角坐标系xOy中，圆C₁：（x-1）²+y²=2，圆C₂：（x-m）²+（y+m）²=m²．圆C₂上存在点P满足：过点P向圆C₁作两条切线PA，PB，切点为A，B，△ABP的面积为1，则正数m的取值范围是．

难度：较难

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8．已知定点A（-1，0），圆C：x²+y²-2x-2
3
y+3=0．
（1）过点A向圆C引切线，求切线长；
（2）过点A作直线l₁交圆C于P、Q，且
AP
=
PQ
，求直线1₁的斜率k；
（3）定点M，N在直线l₂：x=1上，对于圆C上任意一点R都满足RN=
3
RM，试求M，N两点的坐标．

难度：中等

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9．已知圆的方程是x²+y²=1，求：
（1）过点A（
1
2
，
3
2
）的切线方程；
（2）过点C（1，1）的切线方程．

难度：中等

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10．已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线l的距离为2，Q是l上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交l于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值．求∠MAN的度数．

难度：中等

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