知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知圆O：x²+y²=r²（r＞0），点P为圆O上任意一点（不在坐标轴上），过点P作倾斜角互补的两条直线分别交圆O于另一点A，B．
（1）当直线PA的斜率为2时，
①若点A的坐标为（-
1
5
，-
7
5
），求点P的坐标；
②若点P的横坐标为2，且PA=2PB，求r的值；
（2）当点P在圆O上移动时，求证：直线OP与AB的斜率之积为定值．

难度：中等

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2．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）证明：直线l恒过定点，并判断直线l与圆的位置关系；
（2）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程及最短弦的长度．

难度：中等

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3．设P（4，0），A、B是圆C：x²+y²=4上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交圆C于另一点E，直线AE与x轴交于点T，则|
AT
|×|
TE
|= ．

难度：较难

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4． P为圆x²+y²=1的动点，则点P到直线3x-4y-10=0的距离的最大值为．

难度：中等

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5．已知圆C：（x-2）²+y²=1，若直线y=k（x+1）上存在点P，使得过P向圆C所作两条切线所成角为
π
3
，则实数k的取值范围为．

难度：较难

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6．点P（0，4）关于x-y+3=0的对称点Q在直线l上，且l与直线3x-y+2=0平行
（1）求直线l的方程
（2）求圆心在直线l上，与x轴相切，且被直线x-2y=0截得的弦长为4的圆的方程．

难度：中等

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7．若圆C的方程为（x-3）²+（y-1）²=9与直线斜率为1的直线m交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点，
（1）求直线m的方程；
（2）若过点T（1，3）的直线l与圆C交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，求M的轨迹方程．

难度：中等

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8．己知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点M（x，y）是圆C上的点，
（I）求
y+2
x+2
的取值范围；
（II）求（x+2）²+（y+2）²的最小值．

难度：中等

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9．已知圆C₁的圆心为直线l₁：x-y+1=0与直线l₂：2x+y+2=0的交点，且圆C₁过点（-
1
2
，
3
2
）．
（I）求圆C₁的方程；
（Ⅱ）圆C₂：x²+y²-8x+12=0，已知P（x₀，y₀）为圆C₂上的动点，由点P向圆C₁作两条切线分别交y轴于M，N两点，求|MN|的取值范围．

难度：中等

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10．已知直线l：kx-y-3k=0，圆M：x²+y²-8x-2y+9=0
（1）若k=2，判断直线l与圆M的位置关系；
（2）已知直线l恒经过一个定点，求该定点坐标；
（3）当圆M截l所得弦最短时，求k的值．

难度：中等

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