已知圆\(C\)经过\(A\left(-2,1\right),B\left(5,0\right) \)， 两点，且圆心\(C\)在直线\(y=2x\)上\(.\)

\((1)\)求圆\(C\)的方程；

\((2)\)动直线\(l\)：\(\left( m+2 \right)x+\left( 2m+1 \right)y-7m-8=0\)过定点\(M\)，斜率为\(1\)的直线\(m\)过点\(M\)，直线\(m\)和圆\(C\)相交于\(P\)，\(Q\)两点，求\(PQ\)的长度．

\((1)\)一个长方体的各顶点均在同一球面上，且同一个顶点上的三条棱的长分别为\(1,2,3.\)则此球的表面积为                 ．

\((2)\)已知两圆\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=10\)和\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=10\)相交于\(A,B\)两点，则直线\(AB\)的方程是                       ．

\((3)\)正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为              ．

\((4)\)已知抛物线\({{y}^{2}}=2px\left( p > 0 \right)\)，\(F\)为其焦点，\(l\)为其准线，过\(F\)任作一条直线交抛物线于\(A,B\)两点，\({A}{{'}},{B}{{'}}\)分别为\(A,B\)在\(l\)上的射影，\(M\)为\({A}{{'}}{B}{{'}}\)的中点，给出下列命题：

\(①{A}{{'}}F\bot {B}{{'}}F ;\)       

\(②AM\bot BM ;\)     

\(③{A}{{'}}F/\!/BM ;\)  

\(④{A}{{'}}F\)与\(AM\)的交点在\(y\)轴上\(;\)     

\(⑤A{B}{{'}}\)与\({A}{{'}}B\)交于原点．

其中真命题是                     \(.(\)写出所有真命题的序号\()\)

已知圆，直线过定点。

\((1)\)若与圆相切，求的方程；

\((2)\)若与圆相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程。\((\)其中点是圆的圆心\()\)

设圆\({{C}_{1}}:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x-6y+32=0\)，动圆\({{C}_{2}}:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2(8-a)y+4a+12=0{ }\)．

\((1)\)当\(a\)变化时，求动圆\({{C}_{2}}\)面积的最小值；

\((2)\)求证：圆\({{C}_{1}}\)、圆\({{C}_{2}}\)相交于两个定点；

\((3)\)设点\(P\)是圆\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\)上的点，过点\(P\)作圆\({{C}_{1}}\)的一条切线，切点为\({{T}_{1}}\)，过点\(P\)作圆\({{C}_{2}}\)的一条切线，切点为\({{T}_{2}}\)，问：是否存在点\(P\)，使无穷多个圆\({{C}_{2}}\)，满足\(P{{T}_{1}}=P{{T}_{2}}\)？如果存在，求出所有这样的点\(P\)；如果不存在，说明理由．