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在正方形\(ABCD{-}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(E\)为棱\({CD}\)的中点，则( )
如图，正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的棱长为\(1\)，\(P\)，\(Q\)分别是线段\(AD_{1}\)和\(B_{1}C\)上的动点，且满足\(AP=B_{1}Q\)，则下列命题错误的是\((\) \()\)
已知\(\triangle ABC\)是等腰直角三角形，\(∠BAC=90^{\circ}\)，\(AD⊥BC\)，\(D\)为垂足，以\(AD\)为折痕，将\(\triangle ABD\)和\(\triangle ACD\)折成互相垂直的两个平面后，如图所示，有下列结论：
\(①BD⊥CD\)；\(②BD⊥AC\)；
\(③AD⊥\)面\(BCD\)；\(④\triangle ABC\)是等边三角形．
其中正确的结论的个数为\((\) \()\)
已知四棱锥\(P-ABCD\)，底面\(ABCD\)是\(\angle A={{60}^{\circ }}\)、边长为\(2\)的菱形，又，且\(PD=CD\)，点\(M\)、\(N\)分别是棱\(AD\)、\(PC\)的中点．
\((1)\)证明：\(DN/\!/\)平面\(PMB\)；
\((2)\)证明：平面 \(PMB\bot \)平面\(PAD\)；
\((3)\)求二面角\(P-BC-D\)的余弦。
在正三棱锥\(S-ABC\)中，\(M\)是\(SC\)的中点，且\(AM⊥SB\)，底面边长\(AB=2\sqrt{2} \)，则正三棱锥\(S-ABC\)外接球的体积为_____________．
如图，在长方体\(ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\)中，已知\(AD=A{{A}_{1}}=1\)，\(AB=2\)，点\(E\)是\(AB\)的中点．
\((1)\)求证：\({{D}_{1}}E\bot {{A}_{1}}D\)；
\((2)\)求直线\({{B}_{1}}C\)与平面\(DE{{D}_{1}}\)所成角的大小．
正三棱柱\(ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)中，若\(AB=\sqrt{2}B{{B}_{1}}\)，则\(A{B}_{1} \)与\({C}_{1}B \)所成角的大小为\((\) \()\)
如图长方体中，\(AB=AD=2\sqrt{3}\)，\(CC_{1}=\sqrt{2}\)，则二面角\(C_{1}—BD—C\)的大小为\((\) \()\)
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，且\(PD=CD\)，点\(M\)、\(N\)分别是棱\(AD\)、\(PC\)的中点．