知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1． △ABC中，点A（4，-1），AB的中点为M（3，2），重心为P（4，2），求边BC的长．

难度：中等

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2．如图，在△ABC中，G为重心，I为内心．若GI∥BC，证明：AB，BC，CA三边长成等差数列．

难度：中等

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3． P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．若PA⊥BC，PB⊥AC，则点O是△ABC的心．

难度：中等

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4．已知点O在平面ABC内，若
AO
=λ（
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
）（λ∈R），则直线AO经过△ABC的心．

难度：中等

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5．如图，△ABC的三个顶点均在函数y=
1
x
的图象上，试判断△ABC的垂心（△ABC三条高线的交点叫△ABC的垂心）H是否也在y=
1
x
的图象上，并说明理由．

难度：中等

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6．已知P在△ABC所在平面内，
AP
=λ（
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
），λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定经过△ABC的心．

难度：中等

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7．如图所求，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点．
求：
（1）
PM
与
FQ
所成的角；
（2）P点到平面EFB的距离；
（3）异面直线PM与FQ的距离．

难度：中等

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8．（1）设G是△ABC的重心，证明：△GBC，△GAC，△GAB的面积相等．
（2）利用（1）的结论，证明：三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的2倍．

难度：中等

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9．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°．CM与BN相交于点G，且CM⊥BN．若G是△ABC的重心，BC=2．求BN的长．

难度：中等

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10．若△ABC的外接圆圆心O，垂心是H，求证：
OH
=
OA
+
OB
+
OC
．

难度：中等

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