知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•陕西校级模拟）如图所示，图2中实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形，若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是
1
4
，则此长方体的表面积为．

难度：中等

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2．在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAA₁=∠DAA₁=∠BAD=60°，且所有棱长均为2，则对角线AC₁的长为．

难度：中等

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3．（2015秋•淄博校级期末）如图所示的平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D中，AB=AD=AA₁=1，∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，则CA₁的长= ．

难度：中等

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4．（2015秋•西藏校级期末）如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E，F分别为棱DD₁，AB上的点，下列说法正确的是．（填上所有正确命题的序号）
①AC₁⊥平面B₁EF；
②在平面A₁B₁C₁D₁内总存在与平面B₁EF平行的直线；
③△B₁EF在侧面BCC₁B₁上的正投影是面积为定值的三角形；
④当E，F为中点时，平面B₁EF截该正方体所得的截面图形是五边形．

难度：中等

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5．三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底是边长为1的正三角形，高AA₁=1，在AB上取一点P，设△PA₁C₁与面A₁B₁C₁所成的二面角为α，△PB₁C₁与面A₁B₁C₁所成的二面角为β，则tan（α+β）的最小值是．

难度：较难

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6．已知△ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，M 是AB边上的点，P是平面ABC外一点．给出下列四个命题：
①若PA丄平面ABC，则三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形；
②若PM丄平面ABC，且M是AB边中点，则有PA=PB=PC；
③若PC=5，PC丄平面ABC，则△PCM面积的最小值为
15
2
；
④若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC的距离为
23
．
其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）

难度：较难

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7．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为棱C₁D₁、C₁C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC₁是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB₁是异面直线；
④直线AM与DD₁是异面直线．
其中正确的结论为（注：把你认为正确的结论的序号都填上）．
⑤图中正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱所在直线中与直线AB是异面直线的有条．

难度：较易

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8．如图所示，在透明塑料制成的长方体容器ABCD-A₁B₁C₁D₁灌进一些水，将容器底面的一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有以下命题：
①水的形状成棱柱形；
②水面EFGH的面积不变；
③A₁D₁始终与水面EFGH平行．
其中正确的序号是．

难度：较易

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9．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为A₁C₁上一动点，则当点P在线段A₁C₁上运动时，在①四棱锥P-ABCD的体积②异面直线AP与BD所成的角；③四棱锥P-ABCD外接球的半径；④四棱锥P-ABCD的表面积；其中保持恒定不变的有．

难度：较易

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10．如图，在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若平面a平行于该正方体的体对角线BD，则平面a在该正方体上截得的图形不可能为（填序号）
①正方形；②正三角形；③正六边形；④直角梯形．

难度：较易

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