如图，圆柱\(H\)横放在底面边长为\(1\) 的正六棱锥\(P-ABCDEF\)的顶点\(P\)上，\(O_{1}\)和\(O_{2}\)分别是圆柱左和右两个底面的圆心，正六棱锥\(P-ABCDEF\)底面中心为\(O\)，\(PO=1\)，\(M\)、\(N\)分别是圆柱\(H\)的底面\(O_{1}\)的最高点和最低点，\(G\)是圆柱\(H\)的底面\(O_{2}\)的最低点，\(P\)为\(NG\)中点，点\(M\)、\(O_{1}\)、\(N\)、\(A\)、\(O\)、\(D\)、\(G\)、\(P\)共面，点\(O_{1}\)、\(P\)、\(D\)共线，四边形\(ADGN\)为矩形．
\((1)\)求圆柱\(H\)的体积\(V\)，并证明：\(MG/\!/\)平面\(PCD\)；
\((2)\)作出点\(O\)在平面\(PAB\)上的正投影\(K\)，并证明之．
注：正棱锥就是底面是一个正多边形，顶点在底面上的正投影为底面的中心的棱锥．