4．
如图所示，在三棱柱\(ABC-A\)\({\,\!}_{1}\)\(B\)\({\,\!}_{1}\)\(C\)\({\,\!}_{1}\)中，底面\(\triangle \)\(ABC\)为正三角形，且侧棱垂直于底面\(.AB=\)\(2\)，\(AA\)\({\,\!}_{1}\)\(=\)\(2\)，从顶点\(B\)沿棱柱侧面\((\)经过棱\(AA\)\({\,\!}_{1})\)到达顶点\(C\)\({\,\!}_{1}\)，与\(AA\)\({\,\!}_{1}\)的交点记为\(M.\)求：
\((1)\)三棱柱\(ABC-A\)\({\,\!}_{1}\)\(B\)\({\,\!}_{1}\)\(C\)\({\,\!}_{1}\)侧面展开图的对角线长\(;\)
\((2)\)从\(B\) 经过\(M\) 到\(C\)\({\,\!}_{1}\)的最短路线长及此时\( \dfrac{{A}_{1}M}{AM} \)的值．