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          共50条信息

            • 1． （2016•吉林三模）如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，∠BAD=
              π
              3
              ．
              （1）求证：平面BCF∥面AED；
              （2）若BF=BD=a，求四棱锥A-BDEF的体积．
              难度：中等
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            • 2． 如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD=
              π
              3
              ，AD=2．
              （1）求证：平面FCB∥平面AED；
              （2）若二面角A-EF-C为直二面角，求直线BC与平面AEF所成的角θ的正弦值．
              难度：中等
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            • 3． 如图，在三棱锥P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F为PC上的一点，且PF：FC=3：1．
              （1）求证：PA⊥BC；
              （2）试在PC上确定一点G，使平面ABG∥平面DEF；
              （3）求三棱锥C-DEF的体积与三棱锥P-ABC的体积比．
              难度：中等
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            • 4． 在如图所示的几何体中，四边形ACC1A1是矩形，FC1∥BC，EF∥A1C1，∠BCC1=90°，点A、B、E、A1在一个平面内，AB=BC=CC1=2，AC=2
              		2
              ．
              （1）证明：A1E∥AB；
              （2）若A1E=C1F=1，求平面BEF与平面ABC所成夹角的正切值．
              难度：中等
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            • 5． 如图1，在平面内，ABCD是∠BAD=60°，且AB=a的菱形，ADD′′A1和CD D′C1都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D′′与D′重合于点D1．设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D1位于平面ABCD同侧（图2）．
              （Ⅰ） 设二面角E-AC-D1的大小为θ，若
              π
              4
              ≤θ≤
              π
              3
              ，求线段BE长的取值范围；
              （Ⅱ）在线段D1E上存在点P，使平面PA1C1∥平面EAC，求
              D1P
              PE
              与BE之间满足的关系式，并证明：当0＜BE＜a时，恒有
              D1P
              PE
              ＜1．
              难度：中等
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            • 6． 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=1，AA1=2，D是AA1的中点．
              （Ⅰ）求异面直线A1C1与B1D所成角的大小；
              （Ⅱ）求二面角C-B1D-B的大小；
              （Ⅲ）在B1C上是否存在一点E，使得DE∥平面ABC？若存在，求出
              B1E
              EC
              的值；若不存在，请说明理由．
              难度：中等
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            • 7． 如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）
              （1）证明：P-ABC为正四面体；
              （2）若PD=DA=
              1
              2
              求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）
              （3）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由．
              难度：难
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            • 8． 如图，在四棱柱ABCD=A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，DC=DD1=2AD=2AB=2，AD⊥DC，AB∥DC．
              （1）求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积；    
              （2）求证：D1C⊥AC1；
              （3）设F是BC上一点，试确定F的位置，使D1F∥平面A1BD，并说明理由．
              难度：中等
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            • 9． ABCD是正方形，边长为7 cm，MN∥AB且交BC于点M，交DA于点N，若AN=3 cm，沿MN把正方形折成如图所示的二面角A-MN-D，大小为60°，求图中异面直线MN与BD间的距离．
              难度：中等
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            • 10． 如图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间．点A、D∈α，C、F∈γ，
              AC∩β=B，DF∩β=E．
              （1）求证：
              AB
              BC
              =
              DE
              EF
              ；
              （2）设AF交β于M，AC≠DF，α与β间距离为h′，α与γ间距离为h，当
              h′
              h
              的值是多少时，△BEM的面积最大？
              难度：中等
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