知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知复数乘法（x+yi）（cosθ+isinθ）（x，y∈R，i为虚数单位）的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点（x，y）绕原点逆时针方向旋转θ角，则将点（6，4）绕原点逆时针方向旋转
π
3
得到的点的坐标为．

难度：中等

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2．已知，点A在变换T：
x
y
→
x′
y′
=
x+2y
y
作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点、B．若点B的坐标为（-3，4），求点A的坐标．

难度：较难

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3．已知直线l：ax-y=0在矩阵A=[
0 1
1 2
]对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点（1，1），求实数a的值．

难度：较难

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4．选修4-2：矩阵与变换
已知曲线C&：y²=2x，在矩阵M=
1 0
0 2
对应的变换作用下得到曲线C₁，C₁在矩阵N=
0 -1
1 0
对应的变换作用下得到曲线C₂，求曲线C₂的方程．

难度：中等

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5．本题有（I）、（II）、（III）三个选作题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知a∈R，矩阵P=
0 2
-1 0
，Q=
0 1
a 0
，若矩阵PQ对应的变换把直线l₁：x-y+4=0变为直线l₂：x+y+4=0，求实数a的值．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，求圆C：ρ=2上的点P到直线l：ρ(cosθ+
3
sinθ)=6的距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知实数x，y满足x²+4y²=a（a＞0），且x+y的最大值为5，求实数a的值．

难度：较难

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6．已知△AOB的三顶点O（0，0），A（0，-4），B（2
3
，2），设△AOB在矩阵
4 -3
3 4
所对应的变换作用下得到△A′OB′，求∠OA′B′和△A′OB′的面积．

难度：中等

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7．已知对任意的平面向量，把
AB
绕其起点沿逆时针方向旋转θ角，得到向量
AP
=(xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ)，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P
①已知平面内的点A（1，2），B(1+
2
，2-2
2
)，把点B绕点A沿逆时针方向旋转
7π
4
后得到点P，求点P的坐标
②设平面内曲线C上的每一点绕逆时针方向旋转
π
4
后得到的点的轨迹是曲线x²-y²=1，求原来曲线C的方程．

难度：较难

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8．已知曲线C：y²-x²=2，将曲线C绕坐标原点顺时针旋转30°得到曲线C′．
（Ⅰ）求曲线C′的方程；
（Ⅱ）求曲线C′的焦点坐标．

难度：中等

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9．（1）选修4-2：矩阵与变换
如图，矩形OABC的顶点O（0，0）、A（-2，0）、B（-2，-1）、C（0，-1）．将矩形OABC绕坐标原点O旋转得到矩形OA₁B₁C₁；再将矩形OA₁B₁C₁沿x轴正方向作切变变换，得到平行四边形OA₁B₂C₂，且点C₂的坐标为（
3
，1）．求将矩形OABC变为平行四边形OA₁B₂C₂的线性变换对应的矩阵．

难度：中等

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10．已知曲线C：xy=1
（1）将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；
（2）求曲线C的焦点坐标和渐近线方程．

难度：中等

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