知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1． △ABC的顶点A（1，2），B（3，3），C（2，1），求在矩阵
2 0
0 -2
对应的变换下所得图形的面积．

难度：较难

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2．设a，b∈R，若M=
a 0
-1 b
所定义的线性变换把直线l：2x+y-1=0变换成另一直线l′：x+y-3=0，求a，b的值．

难度：较易

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3．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁为到定点F(
3
2
，
1
2
)的距离与到定直线l1：
3
x+y+2=0的距离相等的动点P的轨迹，曲线C₂是由曲线C₁绕坐标原点O按顺时针方向旋转30°形成的．
（1）求曲线C₁与坐标轴的交点坐标，以及曲线C₂的方程；
（2）过定点M₀（m，0）（m＞2）的直线l₂交曲线C₂于A、B两点，已知曲线C₂上存在不同的两点C、D关于直线l₂对称．问：弦长|CD|是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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4．已知对任意平面向量
AB
=（x，y），我们把
AB
绕其起点A沿逆时针方向旋转θ角得到向量
AP
=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），称为
AB
逆旋θ角到
AP
．
（1）把向量
a
=（2，-1）逆旋
π
3
角到
b
，试求向量
b
．
（2）设平面内函数y=f （x）图象上的每一点M，把
OM
逆旋
π
4
角到
ON
后（O为坐标原点），得到的N点的轨迹是曲线x²-y²=3，当函数F （x）=λ f （x）-|x-1|+2有三个不同的零点时，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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5．已知△AOB的三顶点O（0，0），A（0，-4），B（2，2），设△AOB在矩阵所对应的变换作用下得到△A′OB′，求∠OA′B′和△A′OB′的面积．

难度：中等

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6．如果曲线x²+4xy+3y²=1在矩阵的作用下变换得到曲线x²-y²=1，求a+b的值．

难度：中等

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7． A、已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连接DB、DE、OC．若AD=2，AE=1，求CD的长．
B．运用旋转矩阵，求直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程．
C．已知A是曲线ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线ρcosθ=1距离的最大值和最小值．
D．证明不等式：
1
1
+
1
1×2
+
1
1×2×3
+L+
1
1×2×3×L×n
＜2．

难度：较难

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8．已知点M（3，-1）绕原点按逆时针方向旋转90°后，且在矩阵A=
.
a 0
2 b
.
对应的变换作用下，得到点N（3，-5）求a，b的值．

难度：较易

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9．过A（-4，0）、B（0，-3）两点作两条平行线，求分别满足下列条件的方程：
（1）两平行线间距离为4；
（2）这两条直线各绕A，B旋转，使它们之间的距离取最大值．

难度：中等

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10．边长分别是3cm、4cm、5cm的三角形的外接圆以其直径所在直线为旋转轴，旋转180°形成的几何体是什么？其半径是多少？

难度：较难

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