知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．关于x，y的一元二次方程组
2x+3y=1
x-2y=2
的系数矩阵．

难度：中等

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2．设矩阵M=
1 a
b 1
，若曲线C：x²+4xy+2y²=1在矩阵M的作用下变换成曲线C'：x²-2y²=1，则矩阵Mⁿ= ．（n∈N^*）

难度：中等

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3．定义
a11， a12
a21， a22
x
y
=
a11x+ a12y
a21x+ a22y
，若
2， 3
1， 1
x
y
=
3
-1
，则x= ，y= ．

难度：中等

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4．已知在一个二阶矩阵M的变换作用下，点A（2，-1）变成了点A′（3，-4），点B（-1，2）变成了点B（0，5），求矩阵M．

难度：中等

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5．若
3
-1
2 0
sinx
cosx
=
2
3
，则实数x的取值集合为．

难度：中等

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6．如图，矩形OABC和平行四边形OA₁B₁C₁的部分顶点坐标为：A（-1，0），B（-1，2），A₁（
1
2
，1），C₁（2，0）．
（Ⅰ）求将矩形OABC变为平行四边形OA₁B₁C₁的线性变换对应的矩阵M；
（Ⅱ）矩阵M是否存在特征值？若存在，求出矩阵M的所有特征值及其对应的一个特征向量；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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7．在平面直角坐标系xOy中，先对曲线C作矩阵A=
cosθ -sinθ
sinθ cosθ
（0＜θ＜2π）所对应的变换，再将所得曲线作矩阵B=
1 0
0 k
（0＜k＜1）所对应的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为
0 -1
1
2
0
，求k，θ的值．

难度：较易

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8．设3阶方阵A的伴随矩阵为A^*，且|A|=
1
2
，求|（3A）^-1-2A^*|．

难度：较易

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9．我们用a_ij（1≤i≤n，1≤j≤n，i，j，n∈N^*）表示矩阵的第i行第j列元素，已知该矩阵的每一行每一列都是等差数列，并且a₁₁=1，a₁₂=a₂₁=2，a₂₂=4．
（1）求a₅₄．
（2）求a_ij关于i，j的关系式；
（3）设行列式
.
a23 a24 a25
a33 a34 a35
a43 a44 a45
.
=D，求证：对任意1≤i，j≤n-2，i，j，n∈N^*时，都有
.
aij ai(j+1) ai(j+2)
a(i+1)j a(i+1)(j+1) a(i+1)(j+2)
a(i+2)j a(i+2)(j+1) a(i+2)(j+2)
.
=D．

难度：中等

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10．已知矩阵A=
0
1
3
1-
2
3
，点M（-1，1），N（0，2）．求线段MN在矩阵A^-1对应的变换作用下得到线段M′N′的长度．

难度：中等

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