知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵M=
a 1
0 b
（a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）当a=2，b=3时，求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量；
（Ⅱ）当a=b时，曲线C：x²-y²=1在矩阵M的对应变换作用下得到曲线C′：x²-2xy-1=0，求a的值．

难度：较难

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2．求直线x-y-1=0在矩阵M=
2
2
，-
2
2
2
2
，
2
2
的变换下所得曲线的方程．

难度：较难

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3．如图，矩形OABC在变换T的作用下变成了平行四边形OA′B′C′，变换T所对应的矩阵为M，矩阵N是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍所对应的变换矩阵．
（Ⅰ）求（MN）^-1；
（Ⅱ）判断矩阵MN是否存在特征值．

难度：较难

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4．已知矩阵A=
1 2
-1 2

（1）矩阵A=
1 2
-1 2
对应的变换把直线l：x+y=0变为直线l′，求直线l′的方程．
（2）求A的逆矩阵A^-1．

难度：较难

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5．如图，单位正方形OABC在二阶矩阵T的作用下，变成菱形OA₁B₁C₁．
（1）求矩阵T；
（2）设双曲线F：x²-y²=1在矩阵T对应的变换作用下得到曲线F′，求曲线F′的方程．

难度：中等

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6．若矩阵A有特征值λ₁=2，λ₂=-1，它们对应的特征向量分别为
α1
=
1
0
，
α2
=
0
1

（1）求矩阵A及逆矩阵A^-1
（2）若
β
=
1
16
，试求A¹⁰⁰
β
．

难度：中等

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7．已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量
e1
=
1
1
，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（3，0），求矩阵M．

难度：较难

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8．选修4-2：矩阵与变换
若二阶矩阵M满足M
1 2
3 4
=
7 10
4 6
．
（Ⅰ）求二阶矩阵M；
（Ⅱ）把矩阵M所对应的变换作用在曲线3x²+8xy+6y²=1上，求所得曲线的方程．

难度：较难

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9．已知矩阵P
3 2
1 1
所对应的线性变换把点A（x，y）变成点Q（0，-2），试求P的逆矩阵及点A的坐标．

难度：较难

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10．某商店有甲、乙、丙三家连锁分店分别出售A、B、C、D四类商品，2013年上半年与下半年的出售数量如下表所示（单位：万件） 2013年上半年
A B C D
甲 52 38 68 23
乙 36 12 56 40
丙 26 24 73 33
2013年下半年
A B C D
甲 44 46 52 25
乙 36 24 52 32
丙 34 36 47 39
（1）分别用矩阵A、B表示2013年上半年、下半年个分店商品的销售量；
（2）使用矩阵C表示并计算全年各分店商品的销售量．

难度：较易

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