知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵M=
a 1
0 b
（a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）当a=2，b=3时，求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量；
（Ⅱ）当a=b时，曲线C：x²-y²=1在矩阵M的对应变换作用下得到曲线C′：x²-2xy-1=0，求a的值．

难度：较难

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2．如图，矩形OABC在变换T的作用下变成了平行四边形OA′B′C′，变换T所对应的矩阵为M，矩阵N是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍所对应的变换矩阵．
（Ⅰ）求（MN）^-1；
（Ⅱ）判断矩阵MN是否存在特征值．

难度：较难

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3．已知矩阵A=
.
1 1
2 1
.
，向量
β
=[
1
2
]．求向量
a
，使得A²
α
=
β
．

难度：较难

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4．（选修4-2：矩阵与变换）曲线x²+4xy+2y²=1在二阶矩阵的作用下变换为曲线x²-2y²=1．
（1）求实数a，b的值；
（2）求M的逆矩阵M^-1．

难度：较难

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5．（选修4-2：矩阵与变换）
设T是矩阵
ac
b0
所对应的变换，已知A（1，0）且T（A）=P
（1）设b＞0，当△POA的面积为
3
，∠POA=
π
3
，求a，b的值；
（2）对于（1）中的a，b值，再设T把直线4x+y=0变换成
3
x-y=0，求c的值．

难度：中等

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6．已知M=
.
1 0
0 2
.
，N=
.
1 0
-1 1
.
，求曲线2x²-2xy+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程．

难度：中等

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7．（选修4-2：矩阵与变换）在军事密码学中，发送密码时，先将英文字母数学化，对应如下表：

a b c d … z

1 2 3 4 … 26
如果已发现发送方传出的密码矩阵为
14 41
32 101
，双方约定可逆矩阵为
1 2
3 4
，试破解发送的密码．

难度：中等

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8．已知矩阵A=
1 0
1 2
，若直线y=kx在矩阵A对应的变换作用下得到的直线过点P（1，5），求实数k的值．

难度：中等

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9．由9个正数组成的数阵
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
每行中的三个数成等差数列，且a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比数列．给出下列结论：
①第二列中的a₁₂，a₂₂，a₃₂必成等比数列；
②第一列中的a₁₁，a₂₁，a₃₁不一定成等比数列；
③a₁₂+a₃₂≥a₂₁+a₂₃；
④若9个数之和大于81，则a₂₂＞9．
其中正确的序号有．（填写所有正确结论的序号）．

难度：较难

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10．设T是矩阵
a c
b 0
所对应的变换，已知A（1，0），且T（A）=P．设b＞0，当△POA的面积为
3
，∠POA=
π
3
，求a，b的值．

难度：中等

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