知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

选修$4-2:$矩阵与变换

已知矩阵$A=\begin{bmatrix} 0\mathrm{{\quad }}1 \\ 1\mathrm{{\quad }}0 \\ \end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix} 1\mathrm{{\quad }}0 \\ 0\mathrm{{\quad }}2 \\ \end{bmatrix}$．

$(1)$ 求$AB;$

$(2)$ 若曲线$C_{1}:\dfrac{x^{2}}{8}+\dfrac{y^{2}}{2}=1$在矩阵$AB$对应的变换作用下得到另一曲线$C_{2}$，求$C_{2}$的方程．

难度：较易

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2．
求曲线$2{{x}^{2}}-2xy+1=0$先对它作矩阵$N=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \\ \end{matrix} \right]$对应的变换，在作矩阵$M=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{matrix} \right]$对应的变换得到的曲线方程．

难度：较易

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3．

定义$2×2$矩阵$f\left( x \right)=\left[ \begin{matrix} \cos x-\sin x & \sqrt{3} \\ \cos \left( \dfrac{\pi }{2}+2x \right) & \cos x+\sin x \\\end{matrix} \right]$ ，若$\left[ \begin{matrix} a{}_{1} & {{a}_{2}} \\ {{a}_{3}} & {{a}_{4}} \\\end{matrix} \right]={{a}_{1}}{{a}_{4}}-{{a}_{2}}{{a}_{3}}$，则$f\left( x \right)=($　　$)$

A．图象关于$(π,0)$中心对称

B．图象关于直线$x=\dfrac{\pi }{2}$对称

C．在区间$\left[- \dfrac{π}{6},0\right] $上单调递增

D．周期为$π$的奇函数

难度：较易

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4．设 $a$， $b$$∈R.$若直线 $l$： $ax$$+$ $y$$-7=0$在矩阵$A=\begin{bmatrix}3 & 0 \\ -1 & b\end{bmatrix} $对应的变换作用下，得到的直线为 $l$$′$：$9$ $x$$+$ $y$$-91=0$．

$(1)$求实数$a$，$b$的值； $(2)$求出矩阵$A$的特征值及对应一个的特征向量

难度：较易

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5．
已知函数的图象经过矩阵对应的变换得到函数的图象，则函数的解析式为 ____ ___$.$

难度：较易

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6．
在平面直角坐标系 $x$$O$ $y$中，已知$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(2,2)$，$D(0,2)$，先将正方形$ABCD$绕原点逆时针旋转$90^{\circ}$，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变$.$则连续两次变换所对应的矩阵$M=$ ____ ___．

难度：较易

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7．矩阵A=
1 0
-1 2
，B=
2 4
1 -3
，则2A-3B= ．

难度：较易

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8． (1)选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=( $%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%202%20%26%20a%20%5C%5C%202%20%26%20b%5Cend%7Bvmatrix%7D$ )的两^E值分别为λ₁=-1和λ₂=4．
(I)求实数的值；
(II )求直线x-2y-3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．
(2)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3Dsin%5Calpha%20%20%5C%5C%20y%3D2cos%5E%7B2%7D%5Calpha%20-2%5Cend%7Bcases%7D$ ，
(a为餓)，曲线D的鍵标方程为ρsin(θ- $%20%5Cfrac%20%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7D$ )=- $%20%5Cfrac%20%7B3%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ．
(I )将曲线C的参数方程化为普通方程；
(II)判断曲线c与曲线D的交点个数，并说明理由．
(3)选修4-5：不等式选讲
已知a，b为正实数．
(I)求证： $%20%5Cfrac%20%7Ba%5E%7B2%7D%7D%7Bb%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7Bb%5E%7B2%7D%7D%7Ba%7D$ ≥a+b；
(II)利用(I)的结论求函数y= $%20%5Cfrac%20%7B%281-x%29%5E%7B2%7D%7D%7Bx%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B1-x%7D$ (0＜x＜1)的最小值．

难度：较易

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9．本题设有(1)(2)(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
(1)已知矩阵M= $%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%20%26%20a%20%5C%5C%20b%20%26%201%5Cend%7Bpmatrix%7D$ ， $N%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20c%20%26%202%20%5C%5C%200%20%26%20d%5Cend%7Bpmatrix%7D$ ，且 $MN%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%202%20%26%200%20%5C%5C%20-2%20%26%200%5Cend%7Bpmatrix%7D$ ，
(Ⅰ)求实数a，b，c，d的值；(Ⅱ)求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．
(2)在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D3-%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7Dt%20%5C%5C%20y%3D%20%5Csqrt%20%7B5%7D-%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7Dt%5Cend%7Bcases%7D$ (t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为 $%5Crho%20%3D2%20%5Csqrt%20%7B5%7Dsin%5Ctheta%20$ ．
(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程；(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为 $%283%2C%20%5Csqrt%20%7B5%7D%29$ ，
求|PA|+|PB|．
(3)已知函数f(x)=|x-a|．
(Ⅰ)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

难度：较易

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10．本小题设有(1)(2)(3)三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
(1)选修4-2：矩阵与变换
已知 $e_%7B1%7D%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%20%5C%5C%201%5Cend%7Bpmatrix%7D$ 是矩阵 $M%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20a%20%201%20%5C%5C%200%20%20b%5Cend%7Bpmatrix%7D$ 属于特征值λ₁=2的一个特征向量．
(I)求矩阵M；
(Ⅱ)若 $a%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%202%20%5C%5C%201%5Cend%7Bpmatrix%7D$ ，求M¹⁰a．
(2)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，A(l，0)，B(2，0)是两个定点，曲线C的参数方程为 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D$ 为参数)．
(I)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(Ⅱ)以A(l，0为极点，| $%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D$ |为长度单位，射线AB为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．
(3)选修4-5：不等式选讲
(I)试证明柯西不等式：(a²+b²)(x²+y²)≥(ax+by)²(a，b，x，y∈R)；
(Ⅱ)若x²+y²=2，且|x|≠|y|，求 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%28x%2By%20%29%5E%7B%202%20%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%28x-y%20%29%5E%7B%202%20%7D%7D$ 的最小值．

难度：较易

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