知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（1）设a，b，c均为正数，求证：a+
1
b
，b+
1
c
，c+
1
a
中至少有一个不小于2；
（2）设a＞0，b＞0，a+b=1，试用分析法证明
1+2a
+
1+2b
≤2
2
．

难度：中等

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2．（1）△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c为三内角A，B，C的对边．用分析法证明
1
a+b
+
1
b+c
=
3
a+b+c
．
（2）已知a是整数，a²是偶数，用反证法证明a也是偶数．

难度：中等

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3．求证：
3
2
-
1
n+1
＜1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜2-
1
n
（n≥2，n∈N₊）．

难度：中等

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4．设a、b、c∈（0，+∞），且acos²θ+bsin²θ＜c，求证：
a
cos²θ+
b
sin²θ＜
c
．

难度：中等

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5．已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR=90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K．
（1）求证：Q、H、K、P四点共圆；
（2）求证：QT=TS．

难度：中等

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6．用分析法证明
a2+b2
2
≥ab．

难度：中等

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7．用分析法证明：已知a，b∈R且a≠b，则|
1
a2+1
-
1
b2+1
|＜|a-b|．

难度：中等

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8．已知a，b，m都是正数，并且a＜b，分别利用综合法与分析法求证
a+m
b+m
＞
a
b
．

难度：中等

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9．用分析法证明不等式
n
+
n+4
＜2
n+2
（n＞0）时，最后推得的显然成立的最简不等式是．

难度：较易

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10．求证：-
1
2
≤x
1-x2
≤
1
2
．

难度：较易

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