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          共50条信息

            • 1． 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x0，y0）、直线l：ax+by+c=0，我们称δ=
              ax0+by0+c
              		a2+b2
              为点P（x0，y0）到直线l：ax+by+c=0的方向距离．
              （1）设椭圆
              x2
              4
              +y2=1              上的任意一点P（x，y）到直线l1：x-2y=0，l2：x+2y=0的方向距离分别为δ1、δ2，求δ1δ2的取值范围．
              （2）设点E（-t，0）、F（t，0）到直线l：xcosα+2ysinα-2=0的方向距离分别为η1、η2，试问是否存在实数t，对任意的α都有η1η2=1成立？若存在，求出t的值；不存在，说明理由．
              （3）已知直线l：mx-y+n=0和椭圆E：
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1              （a＞b＞0），设椭圆E的两个焦点F1，F2到直线l的方向距离分别为λ1、λ2满足λ1λ2＞b2，且直线l与x轴的交点为A、与y轴的交点为B，试比较|AB|的长与a+b的大小．
              难度：中等
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            • 2． 用适当方法证明下列不等式：
              （Ⅰ）用综合法证明：若a＞0，b＞0，求证：（a+b）（
              1
              a
              +
              1
              b
              ）≥4；
              （Ⅱ）用分析法证明：
              		6
              +
              		7
              ＞2
              		2
              +
              		5
              ．
              难度：中等
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            • 3． （1）（用综合法证明）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且A、B、C成等差数列，a，b，c成等比数列，证明：△ABC为等边三角形．
              （2）（用分析法证明）已知a＞b＞c，求证：
              1
              a-b
              +
              1
              b-c
              ≥
              4
              a-c
              ．
              难度：中等
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            • 4． （1）数列{an}满足Sn=2n-an（n∈N*）．计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；
              （2）用分析法证明：若a＞0，则
              		a2+
              1
              a2
              -
              		2
              ≥a+
              1
              a
              -2．
              难度：中等
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            • 5． 设正实数a，b，c及非负实数x，y满足条件a6+b6+c6=3，（x+1）2+y2≤2，求：I=
              1
              2a3x+b3y2
              +
              1
              2b3x+c3y2
              1
              2c3x+a3y2
              的最小值，并论证之．
              难度：中等
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            • 6． 求证：|
              AB
              |
              PC
              +|
              BC
              |
              PA
              +|
              CA
              |
              PB
              =
              0
              ⇔P为△ABC的内心．
              难度：中等
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            • 7． 用分析法证明：若a，b∈R+，a+b=1，则
              		a+
              1
              2
              +
              		b+
              1
              2
              ≤2．
              难度：中等
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            • 8． 若ex＞ln（x+m）（其中x∈R且x＞-m），证明：m＜
              5
              2
              ．
              难度：中等
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            • 9． 已知正方形ABCD，E为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

              （1）求证：EG=CG；
              （2）将图①中的△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②，取DF的中点G，连接EG，CG．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
              （3）将图①中的△BEF绕B点旋转任意角度，如图③，再连接相应的线段，则（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）
              难度：中等
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            • 10． 记函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使f（x0）=x0成立，则称以（x0，x0）为坐标的点为函数y=f（x）图象上的不动点．
              （1）若函数f（x）=
              2x-1
              x+a
              的图象上有且仅有两个不动点，试求a的取值范围．
              （2）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R且a＞0），满足
              f(0)≥1
              f(1+sina)≤1(a∈R)
              ，且y=f（x）的图象上有两个不动点（x1，x1），（x2，x2），记函数y=f（x）的对称轴为x=x0，求证：如果x1＜2＜x2＜4，那么x0＞-1．
              难度：中等
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