知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

3．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知向量\( \overrightarrow{m}=( \dfrac { \sqrt {2}}{2},- \dfrac { \sqrt {2}}{2})\)，\( \overrightarrow{n}=(\sin x,\cos x)\)，\(x∈(0, \dfrac {π}{2})\)．
\((1)\)若\( \overrightarrow{m}⊥ \overrightarrow{n}\)，求\(\tan x\)的值；
\((2)\)若\( \overrightarrow{m}\)与\( \overrightarrow{n}\)的夹角为\( \dfrac {π}{3}\)，求\(x\)的值．

难度：较易

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4．
若\(\sin ( \dfrac {π}{6}-α)= \dfrac {1}{3}\)，则\(\cos ^{2}( \dfrac {π}{6}+ \dfrac {α}{2})=\) ______ ．

难度：较难

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5．
已知函数\(f(x)=(\sin x+\cos x)^{2}-\cos 2x\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(f(x)\)的最小正周期；
\((\)Ⅱ\()\)求证：当\(x∈[0, \dfrac {π}{2}]\)时，\(f(x)\geqslant 0\)．

难度：较易

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6．
已知函数\(f(x)= \sqrt {3}\sin x\cos x-\cos ^{2}x- \dfrac {1}{2}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求函数\(f(x)\)的对称中心；
\((\)Ⅱ\()\)求\(f(x)\)在\([0,π]\)上的单调区间．

难度：易

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7．
已知函数\(f(x)=\cos ^{2}x+ \sqrt {3}\sin (π-x)\cos (π+x)- \dfrac {1}{2}\)
\((\)Ⅰ\()\)求函数\(f(x)\)在\([0,π]\)的单调递减区间；
\((\)Ⅱ\()\)在锐角\(\triangle ABC\)中，内角\(A\)，\(B\)，\(C\)，的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，已知\(f(A)=-1\)，\(a=2\)，\(b\sin C=a\sin A\)，求\(\triangle ABC\)的面积．

难度：较易

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8．
已知角\(A\)，\(B\)，\(C\)为等腰\(\triangle ABC\)的内角，设向量\( \overrightarrow{m}=(2\sin A-\sin C,\sin B)\)，\( \overrightarrow{n}=(\cos C,\cos B)\)，且\( \overrightarrow{m}/\!/ \overrightarrow{n}\)，\(BC= \sqrt {7}\)
\((\)Ⅰ\()\)求角\(B\)；
\((\)Ⅱ\()\)在\(\triangle ABC\)的外接圆的劣弧\( \overparen {AC}\)上取一点\(D\)，使得\(AD=1\)，求\(\sin ∠DAC\)及四边形\(ABCD\)的面积．

难度：较易

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9．
设向量\( \overrightarrow{a}=(\sin x, \sqrt {3}\cos x), \overrightarrow{b}=(-1,1), \overrightarrow{c}=(1,1).(\)其中\(x∈[0,π])\)
\((1)\)若\(( \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b})/\!/ \overrightarrow{c}\)，求实数\(x\)的值；
\((2)\)若\( \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}= \dfrac {1}{2}\)，求函数\(\sin (x+ \dfrac {π}{6})\)的值．

难度：较易

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10．
已知函数\(f(x)=\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x+\cos 2x\)．
\((\)Ⅰ\()\) 求\(f( \dfrac {π}{4})\)的值；
\((\)Ⅱ\()\) 求\(f(x)\)的单调递增区间．

难度：易

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