知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
设\(M⊆N^{+}\)，正项数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项的积为\(T_{n}\)，且\(∀k∈M\)，当\(n > k\)时，\( \sqrt {T_{n+k}T_{n-k}}=T_{n}T_{k}\)都成立．
\((1)\)若\(M=\{1\}\)，\(a_{1}= \sqrt {3}\)，\(a_{2}=3 \sqrt {3}\)，求数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和；
\((2)\)若\(M=\{3,4\}\)，\(a_{1}= \sqrt {2}\)，求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式．

难度：较易

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2．
定义\( \dfrac {n}{p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n}}\)为\(n\)个正数\(p_{1}\)，\(p_{2}\)，\(…\)，\(p_{n}\)的“均倒数”，若已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项的“均倒数”为\( \dfrac {1}{2n+1}\)，又\(b_{n}= \dfrac {a_{n}+1}{4}\)，则\( \dfrac {1}{b_{1}b_{2}}+ \dfrac {1}{b_{2}b_{3}}+…+ \dfrac {1}{b_{2017}b_{2018}}=\) ______ ．

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3．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=k(3^{n}-1)\)，且\(a_{3}=27\)．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)若\(b_{n}=\log _{3}a_{n}\)，求数列\(\{ \dfrac {1}{b_{n}b_{n+1}}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

难度：较易

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4．
正项数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足：\(S_{n}^{2}-(n^{2}+n-1)S_{n}-(n^{2}+n)=0\)
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}\)；
\((2)\)令\(b\;_{n}= \dfrac {n+1}{(n+2)^{2}a_{n}^{2}}\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}.\)证明：对于任意\(n∈N^{*}\)，都有\(T\;_{n} < \dfrac {5}{64}\)．

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5．
已知数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=-1\)，\(a_{n+1}=2a_{n}+3n-1(n∈N^{*})\)，则其前\(n\)项和\(S_{n}=\) ______ ．

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6．
设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}=2+S_{n}\)，\((n∈N^{*}).\)
\((I)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}=1+\log _{2}(a_{n})^{2}\)，求数列\(\{ \dfrac {1}{b_{n}b_{n+1}}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n} < \dfrac {1}{6}\)．

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7．
设\(S_{n}\)为数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，且\(a_{1}= \dfrac {3}{2},a_{n+1}=2S_{n}-2^{n}\)，则\(a_{5}=\) ______ ．

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8．
已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{7}=15\)，且点\((a_{n},a_{n+1})(n∈N^{*})\)在函数\(y=x+2\)的图象上．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设\(b_{n}=3^{a_{n}}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

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9．
数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}= \dfrac {1}{2}\)，\((n+1)(na_{n}\cdot a_{n+1}+a_{n+1})-na_{n}=0(n∈N^{*})\)，设数列\(\{ \dfrac {a_{n}}{n+2}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，则\(S_{n}=\) ______ ．

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10．

已知\(f(x)= \begin{cases} \overset{(2a-1)x+4,x\leqslant 1}{a^{x},x > 1}\end{cases}\)定义域为\(R\)，数列\(\{a_{n}\}(n∈N^{*}),a_{n}=f(n)\)是递增数列，则\(a\)的取值范围是\((\)　　\()\)

A．\((1,+∞)\)

B．\(( \dfrac {1}{2},+∞)\)

C．\((1,3)\)

D．\((3,+∞)\)

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