知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x-1．
（1）求f（x）的函数解析式，并用分段函数的形式给出；
（2）作出函数f（x）的简图；
（3）写出函数f（x）的单调区间及最值．

难度：中等

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2．定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有：f(x)+f(y)=f(
x+y
1-xy
)； ②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0，回答下列问题．
（1）证明：函数f（x）在（-1，1）上的图象关于原点对称；
（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并说明理由．
（3）证明：f(
1
7
)+f(
1
13
)+…+f(
1
n2+3n+3
)＞f(
1
2
)，（n∈Z）．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=2|x+1|+ax（x∈R）．
（1）若f（x）在R上是增函数，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）图象与x轴有两个不同的交点，求a的取值范围．

难度：较难

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4．（2012秋•鲤城区校级期中）已知函数f（x）=x|x-m|（x∈R），且f（1）=0．
（Ⅰ）求m的值，并用分段函数的形式来表示f（x）；
（Ⅱ）在图给定的直角坐标系内作出函数f（x）的草图；
（ III）由图象写出函数f（x）的奇偶性及单调区间．

难度：中等

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5．函数f(x)=
ax+b
x2+1
是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f(
1
2
)=
2
5
．
（1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数．

难度：中等

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6．下列函数既是奇函数，又在区间（-1，1）上单调递减的是（　　）

A．f（x）=sinx

B．f（x）=-|x+1|

C．f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）

D．f(x)=ln

1-x

1+x

难度：较易

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7．函数y=(tanx)+

，x≠

+kπ（k∈Z）（　　）

A．是奇函数

B．是偶函数

C．既不是奇函数也不是偶函数

D．有无奇偶性不能确定

难度：较易

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8．下列说法正确的是．（只填正确说法序号）
①若集合A={y|y=x-1}，B={y|y=x²-1}，则A∩B={（0，-1），（1，0）}；
②y=
x-3
+
2-x
是函数解析式；
③若函数f（x）在（-∞，0]，[0，+∞）都是单调增函数，则f（x）在（-∞，+∞）上也是增函数；
④y=
1-x2
1-|3-x|
是非奇非偶函数；
⑤函数y=log
1
2
(x2-2x-3)的单调增区间是（-∞，1）．

难度：较难

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9．已知函数f（x）=
a+x
a-x
（常数a＞0），且f（1）+f（3）=-2．
（1）求a的值；
（2）试研究函数f（x）的单调性，并比较f（t）与2
2t+2
t
(-
3
2
＜t＜
3
2
且t≠0)的大小；
（3）设g（x）=
(2-x)f(x)
-m(x+2)-2，是否存在实数m使得y=g（x）有零点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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10．定义在R上的偶函数f（x）满足：f（0）=5，x＞0时，f(x)=x+
4
x

（1）求x＜0时，f（x）的解析式；
（2）求证：函数f（x）在区间（0，2）上递减，（2，+∞）上递增；
（3）当x∈[-1，t]时，函数f（x）的取值范围是[5，+∞），求实数t的取值范围．

难度：较难

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