知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（mn）=f（m）+f（n）（m，n＞0），且当x＞1时，有f（x）＞0．
①求证：f（ $\text{[math]}$ ）=f（m）﹣f（n）；
②求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
③比较f（ $\text{[math]}$ ）与 $\text{[math]}$ 的大小．

难度：中等

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2．已知增函数y=f（x）的定义域为（0，+∞）且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），求满足f（x）+f（x﹣3）≤2的x的范围．

难度：中等

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3．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，若对于任意的x，y∈[﹣2，2]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，有f（x）＞0
（Ⅰ）证明：f（x）为奇函数；
（Ⅱ）若f（1）=3求f（x）在[﹣2，2]上的值域．

难度：中等

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4．定义在（﹣1，1）上的减函数f（x）且满足对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）解关于x的不等式f（log₂x﹣1）+f（log₂x）＜0．

难度：中等

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5．如果函数f（x）在其定义域内存在实数x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，则称函数f（x）为“可分拆函数”．
（1）试判断函数f(x)=
1
x
是否为“可分拆函数”？并说明你的理由；
（2）证明：函数f（x）=2^x+x²为“可分拆函数”；
（3）设函数f(x)=lg
a
2x+1
为“可分拆函数”，求实数a的取值范围．

难度：中等

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6．对于定义域为R的函数f（x），如果存在非零常数T，对任意x∈R，都有f（x+T）=Tf（x）成立，则称函数f（x）为“T函数”．
（1）设函数f（x）=x，判断f（x）是否为“T函数”，说明理由；
（2）若函数g（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，证明：g（x）为“T函数”；
（3）若函数h（x）=cosmx为“T函数”，求实数m的取值范围．

难度：中等

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7．已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；
（3）解关于x的不等式f（x²）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），其中常数a∈R．

难度：中等

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8．已知函数f（x）的定义域为R，当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）写出一个具体函数，满足题目条件；
（Ⅲ）求证：f（x）是奇函数．

难度：中等

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9．已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，若f（﹣1）=2．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）是R上的减函数；
（3）求函数f（x）在区间[﹣2，4]上的值域．

难度：中等

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10．函数f（x）的定义域D={x|x≠0}，且满足对于任意x₁ ， x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）与f（﹣1）的值；
（2）判断函数的奇偶性并证明.

难度：中等

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