知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n=
n2+n
2
，数列{b_n}的通项为b_n=f（n），且f（n）满足：①f（1）=
1
2
；②对任意正整数m，n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立．
（1）求a_n与b_n；
（2）设数列{a_nb_n}的前n项和为T_n，求T_n．

难度：中等

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2．已知函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对于任意的x＞0，y＞0，都有f（xy）=f（x）+f（y），且满足f（2）=1．
（1）求f(4)，f(
1
2
)的值；
（2）求满足f（2x）-f（x-3）＞2的x的取值范围．

难度：中等

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3．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，在定义域内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）指出函数f（x）=
k
x
（k≠0，k为常数）与集合M的关系？请说明理由；
（2）证明：函数f（x）=（
1
2
）^x+
3
8
x²∈M．

难度：中等

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4．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足对于任意的m，n∈R⁺，都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，当x＞1时，f（x）＜0．
（1）判断f（x）的单调性，并证明；
（2）若f（6）=-1，解不等式f（x+3）＜-2-f（x）；
（3）比较f（
m+n
2
）与
1
2
[f（m）+f（n）]的大小（其中m，n＞0，m≠n）．

难度：较难

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5．定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0，
（1）求f（1）和f（-1）的值；
（2）试判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（3）若x≥0时f（x）为增函数，求满足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x取值集合．

难度：中等

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6．函数f（x）满足，对于任意x₁，x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（1）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性并证明你的结论；
（2）如果f（4）=2，f（x-1）＜4，求x的取值范围．

难度：中等

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7．已知函数f（x）为定义域在（0，+∞）上的增函数，且f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），求使f（x）+f（x-3）＜2的x的取值范围．

难度：中等

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8．已知f（x）的定义域为R，且f（x+2）=f（x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x²．设I_k=（2k-1，2k+1]，k∈Z．
（1）求f（x）在I_k上的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=ax在I_k上恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

难度：较难

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9．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x∈（0，1）时f（x）＞0，且x，y∈（0，+∞）时总有f（x•y）=f（x）+f（y）
（1）求证：f（
x
y
）=f（x）-f（y）；
（2）证明：函数f（x）在定义域（0，+∞）上为减函数；
（3）若f（3）=1，且f（a）＜f（a-1）+2，求a的取值范围．

难度：中等

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10．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，都有（f（a）+f（b））（a+b）＞0成立，且f（1）=3．
（1）判断f（x）在区间[-1，1]上的单调性，并给出证明；
（2）解不等式：f（x+
1
2
）＜f（
1
x-1
）；
（3）若f（x）+3≥-m²-2tm对所有的x∈[-1，1]，t∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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