知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数y=f（x），x∈R，给出下列结论：
①若对于任意x₁，x₂且x₁≠x₂都有
f(x2)-f(x1)
x2-x1
＜0，则f（x）为R上的减函数；
②若f（x）为R上的偶函数，且在（-∞，0）内是减函数，f（-2）=0则f（x）＞0的解集为（-2，2）；
③若f（x）为R上的奇函数，则y=f（x）-f（|x|）也是R上的奇函数；
④t为常数，若对任意的x都有f（x-t）=f（x+t），则f（x）的图象关于x=t对称．
其中所有正确的结论序号为．

难度：中等

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2．设函数f（x）=x²-ax+b（a，b∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在[0，1]上不单调，求a的取值范围
（Ⅱ）对任意x∈[-1，1]，都存在y∈R，使得f（y）=f（x）+y成立，求a的取值范围．

难度：较难

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3．已知定理：“实数m，n为常数，若函数h（x）满足h（m+x）+h（m-x）=2n，则函数y=h（x）的图象关于点（m，n）成中心对称”．
（Ⅰ）已知函数f（x）=
x2
x-1
的图象关于点（1，b）成中心对称，求实数b的值；
（Ⅱ）已知函数g（x）满足g（2+x）+g（-x）=4，当x∈[0，2]时，都有g（x）≤3成立，且当x∈[0，1]时，g（x）=2^k（x-1）+1，求实数k的取值范围．

难度：较难

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4．对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，总有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．已知函数g（x）=x²与h（x）=2^x-b是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是G函数，求实数b组成的集合．

难度：较难

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5．设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，∀x₁，x₂∈[0，
1
2
]，恒有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），且f（1）=a＞0．
（1）求f（
1
2
）和f（
1
4
）；
（2）求证：f（x）为周期函数；
（3）设a_n=f（2n+
1
2n
），求a_n．

难度：中等

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6．己知f（x）与g（x）的定义域相同，且恒有f（-x）+f（x）=0，g（-x）g（x）=1，又g（x）=1的解集为{0}
（1）判断函数F（x）=
2f(x)
g(x)-1
+f（x）的奇偶性；
（2）若xF（x）+3在[-3，0）∪（0，3]的最大值和最小值分别为M和m，求M+m的值．

难度：中等

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7．设f（x）是定义在整数集上的整值函数，满足下列4条性质：
（1）对任意x∈Z，0≤f（x）≤1996；
（2）对任意x∈Z，f（x+1997）=f（x）；
（3）对任意x，y∈Z，f（xy）=f（x）f（y）（mod1997）；
（4）f（2）=999．
已知这样的函数存在且唯一，据此求满足f（x）=1000的最小正整数x．

难度：较难

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8．（1）若对于函数y=f（x）定义域内的任意x都有f（a+x）=f（b-x），则y=f（x）的图象关于直线对称．
（2）若对于函数y=f（x）定义域的任意x都有f（a+x）=2b-f（a-x），则y=f（x）的图象关于点对称．

难度：较易

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9．已知定义在实数集R上的函数f（x）又f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞0时f（x）＜0，f（2）=-1．
（1）求证：f（x）是在R上单调递减的奇函数；
（2）解不等式f（x²）-f（3x）≥1．

难度：中等

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10．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（4）=1，对任意x₁、x₂∈（0，+∞）都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x∈（0，1）时，f（x）＜0．
（1）证明函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

难度：中等

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