知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知f（x）=log₂
1+x
1-x

（1）判断f（x）奇偶性并证明；
（2）判断f（x）单调性并用单调性定义证明；
（3）若f(
1
x-3
)+f(-
1
3
)＜0，求实数x的取值范围．

难度：中等

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2．已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）=m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．
（1）试判断函数f(x)=log
1
2
(x-1)是否为（3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数？并说明理由；
（2）已知函数f（x）=-x²+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；
（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，问题（Ⅰ）6分，问题（Ⅱ）8分，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分．
（Ⅰ）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上m级类周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2^x，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）已知当x∈[0，4]时，函数f（x）=x²-4x，若f（x）是[0，+∞）上周期为4的m级类周期函数，且y=f（x）的值域为一个闭区间，求实数m的取值范围．

难度：较难

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3．已知函数f（x²-3）=lg
x2
x2-6
，
（1）求f（x）的解析式及其定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性及其单调性．

难度：较易

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4．已知函数f（x）=
lg(x2-2x)
9-x2
的定义域为A，
（1）求A；
（2）若B={x|x²-2x-3≥0}，求A∩B．

难度：较易

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5．已知函数f（x）=log₂（ax+b）的图象经过点A（2，1），B（3，2），
（1）求函数f（x）的解析式及定义域；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）求f（9）÷f（
2
+2
2
）的值．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=|log_ax|．
（1）当a=2时，求函数f（x）-3的零点；
（2）若存在互不相等的正实数m，n，使f（m）=f（n），判断函数g（x）=m^x+n^x-1的奇偶性，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若m＞n，当x＞m时，求函数y=log_mxlog_nx+log_mx的值域．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=lnx．
（Ⅰ）对任意的α，β∈（0，+∞），试比较f(
α+β
2
)与
f(α)+f(β)
2
的大小；
（Ⅱ）证明：f（
e
2014
）+f（
2e
2014
）+…+f（
4026e
2014
）+f（
4027e
2014
）＜4027．（其中e=2.71718…）

难度：较难

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8．设函数f（x）=ln
x+1
x-1
．
（Ⅰ）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并证明；
（Ⅱ）对于区间[2，4]上的任意一个x，不等式f（x）≥e^x+m恒成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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9．已知f（x）=2+log₃x，x∈[1，3]，求y=[f（x）]²+f（x）的最大值及相应的x的值．

难度：中等

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10．设f（x）=2log_ax，g（x）=log_a（5x-6），其中a＞0且a≠1．
（Ⅰ）若f（x）=g（x），求x的值；
（Ⅱ）若f（x）＞g（x），求x的取值范围．

难度：中等

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